Ccccfffffcfff

Câu 2.
Để kiểm tra tính đúng sai của các mệnh đề, chúng ta sẽ áp dụng các công thức và tính chất của logarit.

a) $\log_c(x_0) = \log_c x + \log_c y$

Theo tính chất của logarit, ta có:
\[ \log_c(xy) = \log_c x + \log_c y \]

Nhưng trong mệnh đề này, ta có $\log_c(x_0)$, không phải là $\log_c(xy)$. Do đó, mệnh đề này là sai.

b) $\log_{10}(\log_2 x) = \log_2 x$

Theo tính chất của logarit, $\log_a(\log_b x)$ không thể đơn giản hóa thành $\log_b x$. Do đó, mệnh đề này là sai.

c) $\log_x \left( \frac{1}{x} \right) = \frac{1}{\log_x x}$

Ta biết rằng $\log_x x = 1$. Do đó:
\[ \frac{1}{\log_x x} = \frac{1}{1} = 1 \]

Mặt khác, theo tính chất của logarit:
\[ \log_x \left( \frac{1}{x} \right) = \log_x (x^{-1}) = -1 \]

Do đó, $\log_x \left( \frac{1}{x} \right) = -1$ và không bằng $\frac{1}{\log_x x}$. Mệnh đề này là sai.

d) $\log_0 \left( \frac{x}{y} \right) = \log_0 x - \log_0 y$

Logarit cơ sở 0 không tồn tại vì cơ sở của logarit phải lớn hơn 0 và khác 1. Do đó, mệnh đề này là sai.

Tóm lại:
- Mệnh đề a) là sai.
- Mệnh đề b) là sai.
- Mệnh đề c) là sai.
- Mệnh đề d) là sai.

Câu 3.
a) Ta có:
\[
\ln \sqrt{ab} = \ln (ab)^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} \ln (ab)
\]
Mặt khác:
\[
\frac{1}{2} (\ln \sqrt{a} + \ln \sqrt{b}) = \frac{1}{2} \left( \ln a^{\frac{1}{2}} + \ln b^{\frac{1}{2}} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} \ln a + \frac{1}{2} \ln b \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} (\ln a + \ln b) = \frac{1}{4} (\ln a + \ln b)
\]
Như vậy:
\[
\ln \sqrt{ab} \neq \frac{1}{2} (\ln \sqrt{a} + \ln \sqrt{b})
\]
Do đó, mệnh đề này là sai.

b) Ta có:
\[
a^{mo} = b^{mo}
\]
Điều này đúng nếu \(a = b\). Tuy nhiên, không có thông tin nào cho thấy \(a\) và \(b\) phải bằng nhau, nên ta không thể kết luận rằng mệnh đề này luôn đúng. Do đó, mệnh đề này là sai.

c) Ta có:
\[
\ln \frac{a}{b} = \ln a - \ln b
\]
Mệnh đề này nói rằng:
\[
\ln \frac{a}{b} = \frac{\ln a}{\ln b}
\]
Điều này không đúng vì theo tính chất của lôgarit, \(\ln \frac{a}{b}\) không bằng \(\frac{\ln a}{\ln b}\). Do đó, mệnh đề này là sai.

d) Ta có:
\[
\ln^2(ab) = (\ln(ab))^2 = (\ln a + \ln b)^2 = \ln^2 a + 2 \ln a \ln b + \ln^2 b
\]
Mệnh đề này nói rằng:
\[
\ln^2(ab) = \ln^2 a + \ln^2 b
\]
Điều này không đúng vì \((\ln a + \ln b)^2\) không bằng \(\ln^2 a + \ln^2 b\). Do đó, mệnh đề này là sai.

Tóm lại:
- Mệnh đề a) là sai.
- Mệnh đề b) là sai.
- Mệnh đề c) là sai.
- Mệnh đề d) là sai.

Câu 4.
Để kiểm tra tính đúng sai của các mệnh đề, ta sẽ áp dụng các tính chất của logarit.

a) $\log a^2 = \log 2a$

Theo tính chất của logarit, ta có:
\[ \log a^2 = 2 \log a \]

Còn:
\[ \log 2a = \log 2 + \log a \]

Như vậy, $\log a^2$ không bằng $\log 2a$. Do đó, mệnh đề này là sai.

b) $\log(2a) = 2 + \log a$

Theo tính chất của logarit, ta có:
\[ \log(2a) = \log 2 + \log a \]

Như vậy, $\log(2a)$ không bằng $2 + \log a$. Do đó, mệnh đề này là sai.

c) $\log \frac{1}{a} = -\log a$

Theo tính chất của logarit, ta có:
\[ \log \frac{1}{a} = \log 1 - \log a = 0 - \log a = -\log a \]

Như vậy, $\log \frac{1}{a}$ bằng $-\log a$. Do đó, mệnh đề này là đúng.

d) $\log \sqrt{a} = 2 \log a$

Theo tính chất của logarit, ta có:
\[ \log \sqrt{a} = \log a^{1/2} = \frac{1}{2} \log a \]

Như vậy, $\log \sqrt{a}$ không bằng $2 \log a$. Do đó, mệnh đề này là sai.

Tóm lại:
- Mệnh đề a) là sai.
- Mệnh đề b) là sai.
- Mệnh đề c) là đúng.
- Mệnh đề d) là sai.

Câu 5.
Để kiểm tra tính đúng sai của các mệnh đề, ta sẽ áp dụng các tính chất của hàm số lôgarit và điều kiện xác định của chúng.

a) $\ln\sqrt{ab}=\frac12(\ln a+\ln b)$

- Điều kiện xác định: $a < b < 0$ nên $ab > 0$. Do đó, $\sqrt{ab}$ có nghĩa và $\ln\sqrt{ab}$ cũng có nghĩa.
- Ta có $\ln\sqrt{ab} = \ln(ab)^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2}\ln(ab) = \frac{1}{2}(\ln a + \ln b)$.
- Tuy nhiên, vì $a$ và $b$ đều âm, $\ln a$ và $\ln b$ không có nghĩa trong tập số thực. Do đó, mệnh đề này sai.

b) $\ln(\frac{a}{b}) = \ln|a| - \ln|b|$

- Điều kiện xác định: $a < b < 0$ nên $\frac{a}{b} > 0$. Do đó, $\ln(\frac{a}{b})$ có nghĩa.
- Ta có $\ln(\frac{a}{b}) = \ln|a| - \ln|b|$ (vì $\frac{a}{b} = \frac{|a|}{|b|}$).
- Mệnh đề này đúng.

c) $\ln(\frac{a}{b})^2 = \ln(a^2) - \ln(b^2)$

- Điều kiện xác định: $a < b < 0$ nên $\frac{a}{b} > 0$. Do đó, $(\frac{a}{b})^2 > 0$ và $\ln(\frac{a}{b})^2$ có nghĩa.
- Ta có $\ln(\frac{a}{b})^2 = 2\ln(\frac{a}{b}) = 2(\ln|a| - \ln|b|) = \ln(a^2) - \ln(b^2)$.
- Mệnh đề này đúng.

d) $\ln(ab)^2 = \ln(a^2) + \ln(b^2)$

- Điều kiện xác định: $a < b < 0$ nên $ab > 0$. Do đó, $(ab)^2 > 0$ và $\ln(ab)^2$ có nghĩa.
- Ta có $\ln(ab)^2 = 2\ln(ab) = 2(\ln a + \ln b) = \ln(a^2) + \ln(b^2)$.
- Tuy nhiên, vì $a$ và $b$ đều âm, $\ln a$ và $\ln b$ không có nghĩa trong tập số thực. Do đó, mệnh đề này sai.

Kết luận:
- Mệnh đề a) sai.
- Mệnh đề b) đúng.
- Mệnh đề c) đúng.
- Mệnh đề d) sai.

Bài 6.
a) Mệnh đề: $\log_a x^n = n \log_a x$ (x ≠ 0).

Đây là một tính chất đúng của logarit. Do đó, mệnh đề này là Đúng.

b) Mệnh đề: $\log_a \sqrt[n]{x} = n \log_a x$ (x > 0, n là số nguyên dương lẻ).

Đây là một mệnh đề sai vì theo tính chất của logarit, ta có:
$\log_a \sqrt[n]{x} = \log_a x^{\frac{1}{n}} = \frac{1}{n} \log_a x$.

Do đó, mệnh đề này là Sai.

c) Mệnh đề: $\log_{a^n} x = n \log_a x$ (x > 0, n khác 0).

Đây là một mệnh đề sai vì theo tính chất của logarit, ta có:
$\log_{a^n} x = \frac{\log_a x}{\log_a a^n} = \frac{\log_a x}{n}$.

Do đó, mệnh đề này là Sai.

d) Mệnh đề: $\log_a x^n = n \log_a |x|$ (x > 0, n là số nguyên dương chẵn).

Đây là một mệnh đề đúng vì khi n là số nguyên dương chẵn, $x^n$ luôn dương và $|x| = x$. Do đó:
$\log_a x^n = n \log_a x = n \log_a |x|$.

Do đó, mệnh đề này là Đúng.

Tóm lại:
- Mệnh đề a) là Đúng.
- Mệnh đề b) là Sai.
- Mệnh đề c) là Sai.
- Mệnh đề d) là Đúng.