giải tớ với mn

Câu 1: 1) Tính các giới hạn: a) $\lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{x-2} - 2}{x^2 - 4}$ Ta thấy rằng khi $x \to 2$, mẫu số $x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$ tiến đến 0. Để tính giới hạn này, ta nhân cả tử và mẫu với $\sqrt{x-2} + 2$: \[ \lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{x-2} - 2}{(x-2)(x+2)} \cdot \frac{\sqrt{x-2} + 2}{\sqrt{x-2} + 2} = \lim_{x \to 2} \frac{(x-2) - 4}{(x-2)(x+2)(\sqrt{x-2} + 2)} \] \[ = \lim_{x \to 2} \frac{x-6}{(x-2)(x+2)(\sqrt{x-2} + 2)} = \lim_{x \to 2} \frac{1}{(x+2)(\sqrt{x-2} + 2)} = \frac{1}{4 \cdot 4} = \frac{1}{16} \] b) $\lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{x^2 - 4x + 6} + 2x}{x + 2}$ Ta chia cả tử và mẫu cho $x$: \[ \lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{1 - \frac{4}{x} + \frac{6}{x^2}} + 2}{1 + \frac{2}{x}} = \frac{\sqrt{1} + 2}{1} = 3 \] 2) Xác định $m$ để hàm số $f(x) = \left\{ \begin{array}{ll} \frac{x^2 - 3x + 2}{x - 1} & \text{khi } x \neq 1 \\ m & \text{khi } x = 1 \end{array} \right.$ liên tục tại $x = 1$. Ta cần tính $\lim_{x \to 1} f(x)$: \[ \lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 3x + 2}{x - 1} = \lim_{x \to 1} \frac{(x-1)(x-2)}{x-1} = \lim_{x \to 1} (x-2) = -1 \] Để hàm số liên tục tại $x = 1$, ta cần $m = -1$. Câu 2: 1) Cho cấp số nhân $(u_n)$ có $u_1 = 3$ và công sai $q = 2$. Tính $u_7$. Công thức cấp số nhân: $u_n = u_1 \cdot q^{n-1}$ \[ u_7 = 3 \cdot 2^{7-1} = 3 \cdot 2^6 = 3 \cdot 64 = 192 \] 2) Số hộp sữa xếp theo dãy số lẻ liên tiếp: 1, 3, 5, ... Tổng số hộp sữa là 900. Ta cần tìm số hạng cuối cùng của dãy số lẻ này. Số lượng số hạng trong dãy số lẻ là $n$, tổng của dãy số lẻ là: \[ \frac{n}{2} \cdot (1 + (2n-1)) = n^2 \] Ta có $n^2 = 900 \Rightarrow n = 30$. Vậy số hộp sữa ở hàng dưới cùng là số lẻ thứ 30: \[ 1 + (30-1) \cdot 2 = 59 \] Câu 3: 1) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng $(SAD)$ và $(SBC)$. Giao tuyến của hai mặt phẳng $(SAD)$ và $(SBC)$ là đường thẳng đi qua đỉnh $S$ và giao điểm của hai đường thẳng $AD$ và $BC$. Vì $AB // CD$, nên giao tuyến là đường thẳng $SD$. 2) Gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$; $M$ thuộc cạnh $SB$ sao cho $SM = \frac{1}{3}SB$. Chứng minh rằng $OM // (SCD)$. Ta có $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$, do đó $O$ nằm trên đường thẳng $AC$ và $BD$. Ta cần chứng minh rằng $OM$ song song với mặt phẳng $(SCD)$. Ta thấy rằng $M$ nằm trên $SB$ và $SM = \frac{1}{3}SB$. Do đó, $M$ chia $SB$ thành tỉ lệ $\frac{1}{3}$. Ta có thể vẽ đường thẳng $ON$ song song với $CD$ và cắt $SD$ tại $N$. Khi đó, tam giác $SON$ và tam giác $SBC$ đồng dạng với tỉ lệ $\frac{1}{3}$. Do đó, $OM$ song song với $SN$, và vì $SN$ nằm trong mặt phẳng $(SCD)$, nên $OM$ song song với mặt phẳng $(SCD)$.