Hiair giúp toi chi tiet 3,$)\lim_{x\rightarrow2}\frac{\sqrt{4x+1}-3}{x^2-3x}$

Question

Accepted Answer

Để tính giới hạn $\lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{4x + 1} - 3}{x^2 - 3x}$, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ)
- Biểu thức $\sqrt{4x + 1}$ có nghĩa khi $4x + 1 \geq 0$, tức là $x \geq -\frac{1}{4}$.
- Biểu thức $x^2 - 3x$ khác 0 khi $x \neq 0$ và $x \neq 3$.

Do đó, ĐKXĐ của bài toán là $x \geq -\frac{1}{4}$, $x \neq 0$, và $x \neq 3$.

Bước 2: Nhân lượng liên hợp ở tử số để đơn giản hóa biểu thức:
$$
\lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{4x + 1} - 3}{x^2 - 3x} = \lim_{x \to 2} \frac{(\sqrt{4x + 1} - 3)(\sqrt{4x + 1} + 3)}{(x^2 - 3x)(\sqrt{4x + 1} + 3)}
$$

Bước 3: Tính toán và đơn giản hóa:
$$
= \lim_{x \to 2} \frac{(4x + 1) - 9}{(x^2 - 3x)(\sqrt{4x + 1} + 3)}
$$
$$
= \lim_{x \to 2} \frac{4x - 8}{(x^2 - 3x)(\sqrt{4x + 1} + 3)}
$$
$$
= \lim_{x \to 2} \frac{4(x - 2)}{x(x - 3)(\sqrt{4x + 1} + 3)}
$$

Bước 4: Thay $x = 2$ vào biểu thức đã đơn giản hóa:
$$
= \frac{4(2 - 2)}{2(2 - 3)(\sqrt{4 \cdot 2 + 1} + 3)}
$$
$$
= \frac{4 \cdot 0}{2(-1)(\sqrt{9} + 3)}
$$
$$
= \frac{0}{2(-1)(3 + 3)}
$$
$$
= \frac{0}{2(-1)(6)}
$$
$$
= \frac{0}{-12}
$$
$$
= 0
$$

Vậy, giới hạn của biểu thức là:
$$
\lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{4x + 1} - 3}{x^2 - 3x} = 0
$$