từng bước 1 giúp em ạ

Câu 9: Để hàm số \( f(x) \) liên tục tại điểm \( x = 1 \), ta cần đảm bảo rằng: \[ \lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^-} f(x) = f(1) \] Trước tiên, tính \( f(1) \): \[ f(1) = m^2 \cdot 1 + m \cdot 1 - \frac{8}{3} = m^2 + m - \frac{8}{3} \] Tiếp theo, tính giới hạn khi \( x \to 1^+ \): \[ \lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} \frac{\sqrt[3]{7x+1} - \sqrt{5x-1}}{x-1} \] Áp dụng phương pháp nhân liên hợp để tính giới hạn này: \[ \lim_{x \to 1^+} \frac{\sqrt[3]{7x+1} - \sqrt{5x-1}}{x-1} = \lim_{x \to 1^+} \frac{(\sqrt[3]{7x+1} - \sqrt{5x-1})(\sqrt[3]{(7x+1)^2} + \sqrt[3]{7x+1}\sqrt{5x-1} + (\sqrt{5x-1})^2)}{(x-1)(\sqrt[3]{(7x+1)^2} + \sqrt[3]{7x+1}\sqrt{5x-1} + (\sqrt{5x-1})^2)} \] Khi \( x \to 1 \), ta có: \[ \sqrt[3]{7x+1} \to \sqrt[3]{8} = 2 \] \[ \sqrt{5x-1} \to \sqrt{4} = 2 \] Do đó: \[ \lim_{x \to 1^+} \frac{(\sqrt[3]{7x+1} - \sqrt{5x-1})(\sqrt[3]{(7x+1)^2} + \sqrt[3]{7x+1}\sqrt{5x-1} + (\sqrt{5x-1})^2)}{(x-1)(\sqrt[3]{(7x+1)^2} + \sqrt[3]{7x+1}\sqrt{5x-1} + (\sqrt{5x-1})^2)} = \lim_{x \to 1^+} \frac{7x+1 - (5x-1)}{(x-1)(\sqrt[3]{(7x+1)^2} + \sqrt[3]{7x+1}\sqrt{5x-1} + (\sqrt{5x-1})^2)} \] \[ = \lim_{x \to 1^+} \frac{2x + 2}{(x-1)(\sqrt[3]{(7x+1)^2} + \sqrt[3]{7x+1}\sqrt{5x-1} + (\sqrt{5x-1})^2)} \] \[ = \lim_{x \to 1^+} \frac{2(x + 1)}{(x-1)(\sqrt[3]{(7x+1)^2} + \sqrt[3]{7x+1}\sqrt{5x-1} + (\sqrt{5x-1})^2)} \] \[ = \lim_{x \to 1^+} \frac{2(x + 1)}{(x-1)(\sqrt[3]{(7x+1)^2} + \sqrt[3]{7x+1}\sqrt{5x-1} + (\sqrt{5x-1})^2)} \] \[ = \frac{2(1 + 1)}{(1-1)(\sqrt[3]{(7 \cdot 1 + 1)^2} + \sqrt[3]{7 \cdot 1 + 1}\sqrt{5 \cdot 1 - 1} + (\sqrt{5 \cdot 1 - 1})^2)} \] \[ = \frac{4}{0} \] Do đó, ta thấy rằng giới hạn này không tồn tại, do đó hàm số không liên tục tại \( x = 1 \). Vậy không có giá trị nào của \( m \) thỏa mãn điều kiện liên tục của hàm số tại \( x = 1 \).