Phát biểu đúng hay sai?

Câu 1. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ kiểm tra từng phát biểu một để xác định phát biểu nào là sai. A. \( F(a) - F(b) = G(a) - G(b) \) Do \( F(x) \) và \( G(x) \) đều là nguyên hàm của \( f(x) \), ta có: \[ F(x) = G(x) + C \] với \( C \) là hằng số. Do đó: \[ F(a) = G(a) + C \] \[ F(b) = G(b) + C \] Từ đó suy ra: \[ F(a) - F(b) = (G(a) + C) - (G(b) + C) = G(a) - G(b) \] Phát biểu A đúng. B. \( \int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a) \) Theo định lý Newton-Leibniz, nếu \( F(x) \) là một nguyên hàm của \( f(x) \), thì: \[ \int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a) \] Phát biểu B đúng. C. \( \int_a^b f(x) \, dx = f(b) - f(a) \) Phát biểu này sai vì theo định lý Newton-Leibniz, tích phân của \( f(x) \) từ \( a \) đến \( b \) bằng hiệu giữa giá trị của nguyên hàm tại \( b \) và giá trị của nguyên hàm tại \( a \), không phải là hiệu giữa giá trị của hàm số \( f(x) \) tại \( b \) và giá trị của hàm số \( f(x) \) tại \( a \). D. \( \int_a^b f(x) \, dx = G(b) - G(a) \) Theo định lý Newton-Leibniz, nếu \( G(x) \) là một nguyên hàm của \( f(x) \), thì: \[ \int_a^b f(x) \, dx = G(b) - G(a) \] Phát biểu D đúng. Vậy phát biểu sai là: C. \( \int_a^b f(x) \, dx = f(b) - f(a) \) Đáp án: C. Câu 2. Để xác định phát biểu đúng, ta cần tính nguyên hàm của \( x^\alpha \) từ \( a \) đến \( b \). Nguyên hàm của \( x^\alpha \) là: \[ \int x^\alpha \, dx = \frac{x^{\alpha + 1}}{\alpha + 1} + C \quad (\alpha \neq -1) \] Do đó, tích phân từ \( a \) đến \( b \) sẽ là: \[ \int_a^b x^\alpha \, dx = \left[ \frac{x^{\alpha + 1}}{\alpha + 1} \right]_a^b = \frac{b^{\alpha + 1}}{\alpha + 1} - \frac{a^{\alpha + 1}}{\alpha + 1} = \frac{b^{\alpha + 1} - a^{\alpha + 1}}{\alpha + 1} \quad (\alpha \neq -1) \] Vậy phát biểu đúng là: C. \( \int_a^b x^\alpha \, dx = \frac{b^{\alpha + 1} - a^{\alpha + 1}}{\alpha + 1} \quad (\alpha \neq -1) \) Đáp án: C. Câu 3. Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta cần sử dụng công thức tính nguyên hàm của hàm sin(x). Nguyên hàm của sin(x) là -cos(x). Do đó: \[ \int \sin x \, dx = -\cos x + C \] Áp dụng vào cận trên và cận dưới của tích phân từ a đến b, ta có: \[ \int^b_a \sin x \, dx = [-\cos x]_a^b = (-\cos b) - (-\cos a) = \cos a - \cos b \] Vậy phát biểu đúng là: C. $\int^b_a \sin x \, dx = \cos a - \cos b$ Đáp án: C. $\int^b_a \sin x \, dx = \cos a - \cos b$