Trả lời câu sau:

Câu 4. Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần tìm nguyên hàm của hàm số \( f(x) = \frac{1}{\sin^2 x} \). Bước 1: Xác định nguyên hàm của \( \frac{1}{\sin^2 x} \). Ta biết rằng: \[ \frac{1}{\sin^2 x} = \csc^2 x \] Nguyên hàm của \( \csc^2 x \) là: \[ \int \csc^2 x \, dx = -\cot x + C \] Bước 2: Áp dụng công thức tính tích phân xác định. Tích phân xác định của \( \frac{1}{\sin^2 x} \) từ \( a \) đến \( b \) là: \[ \int_a^b \frac{1}{\sin^2 x} \, dx = \left[ -\cot x \right]_a^b = -\cot b - (-\cot a) = \cot a - \cot b \] Do đó, phát biểu đúng là: A. \( \int_a^b \frac{1}{\sin^2 x} \, dx = \cot a - \cot b \) Đáp án: A. \( \int_a^b \frac{1}{\sin^2 x} \, dx = \cot a - \cot b \) Câu 5. Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần tính tích phân của hàm số \( e^x \) từ \( a \) đến \( b \). Bước 1: Xác định nguyên hàm của \( e^x \). Nguyên hàm của \( e^x \) là \( e^x \) vì đạo hàm của \( e^x \) là \( e^x \). Bước 2: Áp dụng công thức tính tích phân xác định. \[ \int_{a}^{b} e^x \, dx = \left[ e^x \right]_{a}^{b} \] Bước 3: Thay cận trên và cận dưới vào biểu thức nguyên hàm. \[ \int_{a}^{b} e^x \, dx = e^b - e^a \] Vậy phát biểu đúng là: C. $\int_{a}^{b} e^x \, dx = e^b - e^a$. Đáp án: C. $\int_{a}^{b} e^x \, dx = e^b - e^a$. Câu 6. Để tính tích phân $\int^b_a\frac{1}{x}dx$, ta áp dụng công thức tích phân cơ bản cho hàm số $\frac{1}{x}$. Bước 1: Xác định hàm nguyên của $\frac{1}{x}$. Hàm nguyên của $\frac{1}{x}$ là $\ln|x|$. Bước 2: Áp dụng công thức tính tích phân xác định: \[ \int^b_a \frac{1}{x} dx = [\ln|x|]^b_a = \ln|b| - \ln|a| \] Do đó, tích phân $\int^b_a \frac{1}{x} dx$ bằng $\ln|b| - \ln|a|$. Vậy đáp án đúng là: C. $\ln|b| - \ln|a|$. Câu 7. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định nguyên hàm của \( f(x) \): Biết rằng \( F(x) = e^x \) là một nguyên hàm của \( f(x) \). Do đó, \( f(x) = e^x \). 2. Tính tích phân: Ta cần tính \(\int_{0}^{1} [3 + f(x)] \, dx\). 3. Thay \( f(x) \) vào biểu thức: \[ \int_{0}^{1} [3 + e^x] \, dx \] 4. Tách tích phân thành hai phần: \[ \int_{0}^{1} 3 \, dx + \int_{0}^{1} e^x \, dx \] 5. Tính từng phần riêng lẻ: - Tích phân của hằng số 3: \[ \int_{0}^{1} 3 \, dx = 3 \int_{0}^{1} 1 \, dx = 3[x]_{0}^{1} = 3(1 - 0) = 3 \] - Tích phân của \( e^x \): \[ \int_{0}^{1} e^x \, dx = [e^x]_{0}^{1} = e^1 - e^0 = e - 1 \] 6. Cộng lại các kết quả: \[ 3 + (e - 1) = 3 + e - 1 = 2 + e \] Vậy giá trị của \(\int_{0}^{1} [3 + f(x)] \, dx\) là \(2 + e\). Đáp án đúng là: A. \(2 + e\). Câu 8. Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta cần tính tích phân của hàm số $\cos x$ từ $a$ đến $b$. Bước 1: Xác định nguyên hàm của $\cos x$. Nguyên hàm của $\cos x$ là $\sin x$. Do đó: \[ \int \cos x \, dx = \sin x + C \] Bước 2: Áp dụng công thức tính tích phân xác định. Theo công thức tính tích phân xác định: \[ \int_{a}^{b} f(x) \, dx = F(b) - F(a) \] Trong đó, $F(x)$ là nguyên hàm của $f(x)$. Áp dụng vào bài toán: \[ \int_{a}^{b} \cos x \, dx = \sin x \Big|_{a}^{b} = \sin b - \sin a \] Bước 3: Kết luận. Từ kết quả trên, ta thấy rằng phát biểu đúng là: \[ \int_{a}^{b} \cos x \, dx = \sin b - \sin a \] Vậy đáp án đúng là: B. $\int_{a}^{b} \cos x \, dx = \sin b - \sin a.$