trả lời câu sau:

Câu 9. Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần tìm nguyên hàm của hàm số \( f(x) = \frac{1}{\cos^2 x} \). Bước 1: Xác định nguyên hàm của \( \frac{1}{\cos^2 x} \). Ta biết rằng: \[ \frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x \] Nguyên hàm của \( \sec^2 x \) là: \[ \int \sec^2 x \, dx = \tan x + C \] Bước 2: Áp dụng công thức tính tích phân xác định. Tích phân xác định của \( \frac{1}{\cos^2 x} \) từ \( a \) đến \( b \) là: \[ \int_a^b \frac{1}{\cos^2 x} \, dx = \left. \tan x \right|_a^b = \tan b - \tan a \] Do đó, phát biểu đúng là: D. \( \int_a^b \frac{1}{\cos^2 x} \, dx = \tan b - \tan a \) Đáp án: D. \( \int_a^b \frac{1}{\cos^2 x} \, dx = \tan b - \tan a \) Câu 10. Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần tính tích phân của hàm số \( m^x \) từ \( a \) đến \( b \). Bước 1: Xác định nguyên hàm của \( m^x \). Nguyên hàm của \( m^x \) là: \[ \int m^x \, dx = \frac{m^x}{\ln m} + C \] Bước 2: Áp dụng công thức tích phân xác định. Tích phân của \( m^x \) từ \( a \) đến \( b \) là: \[ \int_a^b m^x \, dx = \left[ \frac{m^x}{\ln m} \right]_a^b = \frac{m^b}{\ln m} - \frac{m^a}{\ln m} \] Bước 3: So sánh với các phát biểu đã cho. A. \( \int_a^b m^x \, dx = m^b - m^a \) - Sai vì không có nhân với \( \frac{1}{\ln m} \). B. \( \int_a^b m^x \, dx = m^a - m^b \) - Sai vì dấu trừ sai và không có nhân với \( \frac{1}{\ln m} \). C. \( \int_a^b m^x \, dx = \frac{m^b}{\ln m} - \frac{m^a}{\ln m} \) - Đúng. D. \( \int m \, dx = \frac{m^a}{\ln m} - \frac{m^b}{\ln m} \) - Sai vì tích phân của hằng số \( m \) không liên quan đến \( m^x \). Vậy phát biểu đúng là: \[ \boxed{C. \int_a^b m^x \, dx = \frac{m^b}{\ln m} - \frac{m^a}{\ln m}} \] Câu 11. Để tính tích phân $\int^2_1\frac{-3}{x^3}dx$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định hàm nguyên của $\frac{-3}{x^3}$. Ta có: \[ \int \frac{-3}{x^3} dx = -3 \int x^{-3} dx = -3 \left( \frac{x^{-2}}{-2} \right) + C = \frac{3}{2x^2} + C \] Bước 2: Áp dụng công thức tính tích phân xác định: \[ \int^2_1 \frac{-3}{x^3} dx = \left[ \frac{3}{2x^2} \right]^2_1 \] Bước 3: Tính giá trị tại cận trên và cận dưới: \[ \left[ \frac{3}{2x^2} \right]^2_1 = \left( \frac{3}{2 \cdot 2^2} \right) - \left( \frac{3}{2 \cdot 1^2} \right) = \left( \frac{3}{8} \right) - \left( \frac{3}{2} \right) = \frac{3}{8} - \frac{12}{8} = -\frac{9}{8} \] Vậy giá trị của tích phân $\int^2_1 \frac{-3}{x^3} dx$ là $-\frac{9}{8}$. Đáp án đúng là: D. $-\frac{9}{8}$. Câu 12. Để tính tích phân $\int^2_1\frac{1}{x\sqrt{x}}dx$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định hàm số cần tích phân: \[ f(x) = \frac{1}{x\sqrt{x}} = \frac{1}{x^{1 + \frac{1}{2}}} = \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} = x^{-\frac{3}{2}} \] Bước 2: Tính tích phân không xác định: \[ \int x^{-\frac{3}{2}} dx \] Áp dụng công thức tích phân cơ bản $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ với $n \neq -1$: \[ \int x^{-\frac{3}{2}} dx = \frac{x^{-\frac{3}{2} + 1}}{-\frac{3}{2} + 1} + C = \frac{x^{-\frac{1}{2}}}{-\frac{1}{2}} + C = -2x^{-\frac{1}{2}} + C = -2\frac{1}{\sqrt{x}} + C \] Bước 3: Tính tích phân xác định từ 1 đến 2: \[ \int^2_1 x^{-\frac{3}{2}} dx = \left[ -2\frac{1}{\sqrt{x}} \right]^2_1 \] Thay cận trên và cận dưới vào biểu thức: \[ \left[ -2\frac{1}{\sqrt{x}} \right]^2_1 = -2\frac{1}{\sqrt{2}} - (-2\frac{1}{\sqrt{1}}) = -2\frac{1}{\sqrt{2}} + 2 = -2\frac{\sqrt{2}}{2} + 2 = -\sqrt{2} + 2 \] Vậy giá trị của tích phân $\int^2_1\frac{1}{x\sqrt{x}}dx$ là: \[ 2 - \sqrt{2} \] Do đó, đáp án đúng là: A. $2 - \sqrt{2}$. Câu 13. Để tính $\int^1_0 2f(x) \, dx$, ta sử dụng tính chất của tích phân: \[ \int^1_0 2f(x) \, dx = 2 \int^1_0 f(x) \, dx \] Biết rằng $\int^1_0 f(x) \, dx = 4$, ta thay vào: \[ 2 \int^1_0 f(x) \, dx = 2 \times 4 = 8 \] Vậy $\int^1_0 2f(x) \, dx = 8$. Đáp án đúng là: D. 8. Câu 14. Để tính $\int^3_1 f(x) \, dx$, ta sử dụng tính chất của tích phân: \[ \int^3_1 f(x) \, dx = \int^2_1 f(x) \, dx + \int^3_2 f(x) \, dx \] Ta đã biết: \[ \int^2_1 f(x) \, dx = -2 \] và \[ \int^3_2 f(x) \, dx = 1 \] Do đó: \[ \int^3_1 f(x) \, dx = (-2) + 1 = -1 \] Vậy đáp án đúng là B. -1. Câu 15. Để tính $\int^3_2[f(x)+g(x)]dx$, ta sử dụng tính chất của tích phân: \[ \int^3_2[f(x)+g(x)]dx = \int^3_2 f(x)dx + \int^3_2 g(x)dx \] Theo đề bài, ta đã biết: \[ \int^3_2 f(x)dx = 3 \] \[ \int^3_2 g(x)dx = 1 \] Do đó, ta thay các giá trị này vào công thức trên: \[ \int^3_2[f(x)+g(x)]dx = 3 + 1 = 4 \] Vậy đáp án đúng là: A. 4. Câu 16. Để tính giá trị của $\int^3_1 f(x) dx - \int^3_8 f(x) dx$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tính $\int f(x) dx$ $f(x) = 4\sqrt[3]{x} = 4x^{\frac{1}{3}}$ Tích phân của $f(x)$ là: \[ \int 4x^{\frac{1}{3}} dx = 4 \int x^{\frac{1}{3}} dx = 4 \cdot \frac{x^{\frac{4}{3}}}{\frac{4}{3}} + C = 3x^{\frac{4}{3}} + C \] Bước 2: Tính $\int^3_1 f(x) dx$ \[ \int^3_1 4x^{\frac{1}{3}} dx = \left[ 3x^{\frac{4}{3}} \right]^3_1 = 3(3)^{\frac{4}{3}} - 3(1)^{\frac{4}{3}} = 3 \cdot 3^{\frac{4}{3}} - 3 \cdot 1 = 3 \cdot 3^{\frac{4}{3}} - 3 \] Bước 3: Tính $\int^3_8 f(x) dx$ \[ \int^3_8 4x^{\frac{1}{3}} dx = \left[ 3x^{\frac{4}{3}} \right]^3_8 = 3(3)^{\frac{4}{3}} - 3(8)^{\frac{4}{3}} = 3 \cdot 3^{\frac{4}{3}} - 3 \cdot 8^{\frac{4}{3}} \] Bước 4: Tính $\int^3_1 f(x) dx - \int^3_8 f(x) dx$ \[ \int^3_1 f(x) dx - \int^3_8 f(x) dx = (3 \cdot 3^{\frac{4}{3}} - 3) - (3 \cdot 3^{\frac{4}{3}} - 3 \cdot 8^{\frac{4}{3}}) \] \[ = 3 \cdot 3^{\frac{4}{3}} - 3 - 3 \cdot 3^{\frac{4}{3}} + 3 \cdot 8^{\frac{4}{3}} \] \[ = -3 + 3 \cdot 8^{\frac{4}{3}} \] \[ = -3 + 3 \cdot (2^3)^{\frac{4}{3}} \] \[ = -3 + 3 \cdot 2^4 \] \[ = -3 + 3 \cdot 16 \] \[ = -3 + 48 \] \[ = 45 \] Vậy giá trị của $\int^3_1 f(x) dx - \int^3_8 f(x) dx$ là 45. Đáp án đúng là: A. 45.