Giúp mình với!

Câu 10. Ta có AD là đường phân giác của góc A trong tam giác ABC. Theo tính chất đường phân giác, ta có tỉ số giữa các cạnh AB và AC bằng tỉ số giữa các đoạn thẳng BD và DC. \[ \frac{AB}{AC} = \frac{BD}{DC} \] Thay các giá trị đã cho vào: \[ \frac{12}{18} = \frac{8}{x} \] Rút gọn phân số \(\frac{12}{18}\): \[ \frac{12}{18} = \frac{2}{3} \] Bây giờ ta có phương trình: \[ \frac{2}{3} = \frac{8}{x} \] Để giải phương trình này, ta thực hiện phép chia hai vế: \[ 2x = 3 \times 8 \] \[ 2x = 24 \] Chia cả hai vế cho 2: \[ x = 12 \] Vậy độ dài x là 12 cm. Đáp số: 12 cm. Câu 11. Trong hằng đẳng thức \(x^2 + 6xy + ... = (x + 3y)^2\), ở dấu là đơn thức ... Để tìm đơn thức ở dấu ..., ta sẽ mở rộng hằng đẳng thức \( (x + 3y)^2 \) bằng cách sử dụng hằng đẳng thức \( (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \): - Ở đây, \( a = x \) và \( b = 3y \). Áp dụng hằng đẳng thức: \[ (x + 3y)^2 = x^2 + 2(x)(3y) + (3y)^2 \] Tính toán từng phần: \[ 2(x)(3y) = 6xy \] \[ (3y)^2 = 9y^2 \] Vậy: \[ (x + 3y)^2 = x^2 + 6xy + 9y^2 \] So sánh với hằng đẳng thức ban đầu \( x^2 + 6xy + ... = (x + 3y)^2 \), ta thấy đơn thức ở dấu ... là \( 9y^2 \). Đáp số: \( 9y^2 \) B. TỰ LUẬN 1. Giải phương trình: \( x^2 - 5x + 6 = 0 \) Phân tích phương trình thành nhân tử: \[ x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3) \] Đặt phương trình bằng 0: \[ (x - 2)(x - 3) = 0 \] Tìm nghiệm: \[ x - 2 = 0 \quad \text{hoặc} \quad x - 3 = 0 \] \[ x = 2 \quad \text{hoặc} \quad x = 3 \] Đáp số: \( x = 2 \) hoặc \( x = 3 \) 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: \( A = 2x - x^2 \) Ta viết lại biểu thức \( A \) dưới dạng: \[ A = -(x^2 - 2x) \] Hoàn thành bình phương: \[ A = -((x - 1)^2 - 1) \] \[ A = -(x - 1)^2 + 1 \] Biểu thức \( -(x - 1)^2 \) luôn nhỏ hơn hoặc bằng 0, do đó giá trị lớn nhất của \( A \) là 1, đạt được khi \( x = 1 \). Đáp số: Giá trị lớn nhất của \( A \) là 1, đạt được khi \( x = 1 \) 3. Tìm giá trị của \( x \) biết: \( x^2 - 4x + 4 = 0 \) Phân tích phương trình thành nhân tử: \[ x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2 \] Đặt phương trình bằng 0: \[ (x - 2)^2 = 0 \] Tìm nghiệm: \[ x - 2 = 0 \] \[ x = 2 \] Đáp số: \( x = 2 \) 4. Tìm giá trị của \( y \) biết: \( y^2 - 6y + 9 = 0 \) Phân tích phương trình thành nhân tử: \[ y^2 - 6y + 9 = (y - 3)^2 \] Đặt phương trình bằng 0: \[ (y - 3)^2 = 0 \] Tìm nghiệm: \[ y - 3 = 0 \] \[ y = 3 \] Đáp số: \( y = 3 \) 5. Tìm giá trị của \( z \) biết: \( z^2 - 8z + 16 = 0 \) Phân tích phương trình thành nhân tử: \[ z^2 - 8z + 16 = (z - 4)^2 \] Đặt phương trình bằng 0: \[ (z - 4)^2 = 0 \] Tìm nghiệm: \[ z - 4 = 0 \] \[ z = 4 \] Đáp số: \( z = 4 \) Câu 12 a) Thực hiện phép nhân một đơn thức với một đa thức: \[ 2x(x - 3y) = 2x \cdot x - 2x \cdot 3y = 2x^2 - 6xy \] b) Thực hiện phép nhân một đơn thức với một đa thức và cộng các kết quả lại: \[ (x + 1)^2 + x(2 - x) \] Phép nhân một đơn thức với một đa thức: \[ (x + 1)^2 = x^2 + 2x + 1 \] \[ x(2 - x) = x \cdot 2 - x \cdot x = 2x - x^2 \] Cộng các kết quả lại: \[ (x + 1)^2 + x(2 - x) = (x^2 + 2x + 1) + (2x - x^2) = x^2 + 2x + 1 + 2x - x^2 = 4x + 1 \] Đáp số: a) \( 2x^2 - 6xy \) b) \( 4x + 1 \) Câu 13 1) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) \(5x - 5y\) Ta thấy cả hai hạng tử đều có thừa số chung là 5, do đó ta có thể phân tích như sau: \[ 5x - 5y = 5(x - y) \] b) \(x^2 - y^2 + 4x + 4\) Ta nhận thấy rằng \(x^2 - y^2\) là hiệu hai bình phương và có thể viết lại như sau: \[ x^2 - y^2 = (x - y)(x + y) \] Ta cũng nhận thấy rằng \(4x + 4\) có thể viết lại dưới dạng: \[ 4x + 4 = 4(x + 1) \] Do đó, ta có thể nhóm lại như sau: \[ x^2 - y^2 + 4x + 4 = (x - y)(x + y) + 4(x + 1) \] Ta nhận thấy rằng \(x + 1\) có thể xuất hiện trong cả hai hạng tử, do đó ta có thể tiếp tục phân tích như sau: \[ x^2 - y^2 + 4x + 4 = (x - y)(x + y) + 4(x + 1) = (x + 1)((x - y)(x + y) + 4) \] 2) Tìm x biết: a) \((x - 3)(x + 5) - x^2 = 5\) Ta mở ngoặc và thực hiện phép trừ: \[ (x - 3)(x + 5) - x^2 = x^2 + 5x - 3x - 15 - x^2 = 2x - 15 \] Do đó, ta có phương trình: \[ 2x - 15 = 5 \] Giải phương trình này: \[ 2x = 5 + 15 \\ 2x = 20 \\ x = 10 \] b) \(2x(x + 2024) + x + 2024 = 0\) Ta nhận thấy rằng \(x + 2024\) là thừa số chung, do đó ta có thể phân tích như sau: \[ 2x(x + 2024) + x + 2024 = (x + 2024)(2x + 1) = 0 \] Do đó, ta có hai trường hợp: \[ x + 2024 = 0 \quad \text{hoặc} \quad 2x + 1 = 0 \] Giải các phương trình này: \[ x + 2024 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -2024 \\ 2x + 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad 2x = -1 \quad \Rightarrow \quad x = -\frac{1}{2} \] Đáp số: 1) a) \(5(x - y)\) b) \((x + 1)((x - y)(x + y) + 4)\) 2) a) \(x = 10\) b) \(x = -2024\) hoặc \(x = -\frac{1}{2}\) Câu 14 1) a) Ta có $\angle BAC = 90^\circ$ (vì tam giác ABC vuông tại A). Do M là trung điểm của BC nên AM là đường trung tuyến của tam giác ABC. Theo tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông, ta có $AM = \frac{BC}{2}$. Vì ME vuông góc với AB và MF vuông góc với AC nên $\angle AEM = \angle AFM = 90^\circ$. Do đó, tứ giác AEMF có ba góc vuông, suy ra tứ giác AEMF là hình chữ nhật. b) Ta có $FA = FC$ vì M là trung điểm của BC và MF vuông góc với AC. Do đó, tam giác FMC là tam giác cân tại F. Ta cũng có $KA = 3KI$ vì K là giao điểm của BF và AM, và do tính chất của tam giác cân, ta có $KA = 3KI$. 2) Ta có $\triangle ABC$ và $\triangle DEC$ là hai tam giác đồng dạng (góc A và góc D bằng nhau, góc B và góc E bằng nhau). Tỉ số giữa các cạnh tương ứng của hai tam giác đồng dạng là bằng nhau, tức là $\frac{AB}{CD} = \frac{AC}{CE}$. Biết rằng $CD = 9,5$ m và $AC = 15$ m, $CE = 12$ m, ta có: \[ \frac{AB}{9,5} = \frac{15}{12} \] \[ AB = 9,5 \times \frac{15}{12} = 11,875 \text{ m} \] Vậy chiều cao AB của ngọn tháp là 11,9 m (làm tròn đến hàng phần mười). Câu 15 Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( P = 5x^2 + 2y^2 - 4xy - 8x - 4y + 2024 \), ta sẽ nhóm các hạng tử lại để tạo thành các bình phương hoàn chỉnh. Ta có: \[ P = 5x^2 + 2y^2 - 4xy - 8x - 4y + 2024 \] Nhóm các hạng tử liên quan đến \( x \) và \( y \): \[ P = (5x^2 - 4xy + y^2) + (y^2 - 4y + 4) + (-8x + 4) + 2020 \] Nhóm các bình phương hoàn chỉnh: \[ P = (5x^2 - 4xy + y^2) + (y^2 - 4y + 4) + (-8x + 4) + 2020 \] \[ P = (4x^2 - 4xy + y^2) + x^2 + (y^2 - 4y + 4) + (-8x + 4) + 2020 \] \[ P = (2x - y)^2 + x^2 + (y - 2)^2 - 8x + 4 + 2020 \] Nhóm tiếp tục: \[ P = (2x - y)^2 + (x^2 - 8x + 16) + (y - 2)^2 + 2008 \] \[ P = (2x - y)^2 + (x - 4)^2 + (y - 2)^2 + 2008 \] Biểu thức trên là tổng của các bình phương và một hằng số. Các bình phương luôn không âm, do đó giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( P \) xảy ra khi các bình phương này bằng 0. Do đó: \[ (2x - y)^2 = 0 \] \[ (x - 4)^2 = 0 \] \[ (y - 2)^2 = 0 \] Giải các phương trình này: \[ 2x - y = 0 \Rightarrow y = 2x \] \[ x - 4 = 0 \Rightarrow x = 4 \] \[ y - 2 = 0 \Rightarrow y = 2 \] Thay \( x = 4 \) và \( y = 2 \) vào biểu thức \( P \): \[ P = (2 \cdot 4 - 2)^2 + (4 - 4)^2 + (2 - 2)^2 + 2008 \] \[ P = (8 - 2)^2 + 0 + 0 + 2008 \] \[ P = 6^2 + 2008 \] \[ P = 36 + 2008 \] \[ P = 2044 \] Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( P \) là 2044, đạt được khi \( x = 4 \) và \( y = 2 \). Đáp số: 2044