Câu trong ảnh làm như nào các bạn ơi...

Bài 13: a. Tứ giác AEDF là hình vuông vì: - Tứ giác AEDF có ba góc vuông (góc A, góc DAE, góc DAF). - Tứ giác AEDF có hai cạnh kề nhau bằng nhau (AE = AF vì tam giác ADE và tam giác ADF đều là tam giác vuông cân tại A). b. Ta có: - Tứ giác AEDF là hình vuông nên EF là đường chéo của hình vuông. - Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền. - Do đó, FM là đường trung tuyến của tam giác DEF, suy ra FM = $\frac{1}{2}$EF. - Mặt khác, đường chéo của hình vuông chia đôi góc vuông, do đó góc EFD = 45°. - Vì FM là đường trung tuyến của tam giác DEF, nên FM vuông góc với EF. c. Diện tích tam giác ADC là: \[ S_{ADC} = \frac{1}{2} \times AC \times AD \] Diện tích tam giác EFM là: \[ S_{EFM} = \frac{1}{2} \times EF \times FM \] Ta có: - EF = AD (vì EF là đường chéo của hình vuông AEDF và AD là cạnh của hình vuông). - FM = $\frac{1}{2}$EF (như đã chứng minh ở phần b). Do đó: \[ S_{EFM} = \frac{1}{2} \times AD \times \frac{1}{2}AD = \frac{1}{4}AD^2 \] Diện tích tam giác ADC là: \[ S_{ADC} = \frac{1}{2} \times AC \times AD \] Vì AC > AD (AC là cạnh huyền của tam giác vuông ACD), nên diện tích tam giác ADC lớn hơn diện tích tam giác EFM. d. Để tứ giác AEDF là hình vuông, tam giác ABC phải là tam giác vuông cân tại A. Bài 14: a) Ta có $\widehat{BAC}=\widehat{BAH}=90^{\circ}$ nên $\widehat{CAH}=\widehat{BAC}-\widehat{BAH}=\widehat{CAB}-\widehat{BAH}=\widehat{CAB}$ Mặt khác ta có $\widehat{ACH}=\widehat{ADH}=90^{\circ}$ nên $\Delta ACH=\Delta ADH(cạnh kề 2 góc vuông)$ Suy ra $AC=HD$ b) Ta có $\widehat{EHC}=\widehat{FHA}=90^{\circ}, HE=HC, FA=FH$ nên $\Delta EHC=\Delta FHA(cạnh kề 2 góc vuông)$ Suy ra $\widehat{ECH}=\widehat{FAH}$ Mà $\widehat{ECH}+\widehat{CEH}=180^{\circ}$ (hai góc kề bù) $\widehat{FAH}+\widehat{DAH}=180^{\circ}$ (hai góc kề bù) Suy ra $\widehat{CEH}=\widehat{DAH}$ Mặt khác ta có $\widehat{CEH}+\widehat{ECD}=90^{\circ}$ (góc vuông) $\widehat{DAH}+\widehat{ADH}=90^{\circ}$ (góc vuông) Suy ra $\widehat{ECD}=\widehat{ADH}$ Từ đó ta có $\Delta ECH=\Delta DAH(cạnh kề 2 góc vuông)$ Suy ra $\frac{EH}{DH}=\frac{CH}{AH}=\frac{FH}{AH}=\frac{1}{2}$ Suy ra E, F, D thẳng hàng. c) Ta có $\widehat{AHC}=\widehat{DHA}(2 góc đối đỉnh)$ Mặt khác ta có $\widehat{ACH}=\widehat{ADH}=90^{\circ}$ nên $\Delta ACH=\Delta ADH(cạnh kề 2 góc vuông)$ Suy ra $\widehat{CAH}=\widehat{HAD}$ Tứ giác AHCD là hình vuông khi $\widehat{CAD}=90^{\circ}$ Suy ra $\widehat{CAH}=\widehat{HAD}=45^{\circ}$ Suy ra $\widehat{BAC}=90^{\circ}$ Vậy tứ giác AHCD là hình vuông khi tam giác ABC là tam giác vuông cân tại A. d) Ta có $\widehat{BGA}=\widehat{BHA}=90^{\circ}$ nên $\Delta BGA=\Delta BHA(cạnh kề 2 góc vuông)$ Suy ra $\widehat{GBA}=\widehat{HBA}$ Mặt khác ta có $\widehat{BGA}=\widehat{BHA}=90^{\circ}$ nên $\Delta BGA=\Delta BHA(cạnh kề 2 góc vuông)$ Suy ra $\widehat{GBA}=\widehat{HBA}$ Ta có $\widehat{GBA}+\widehat{ABH}+\widehat{HBG}=180^{\circ}$ (góc phẳng) Suy ra $2\times \widehat{HBA}+\widehat{HBG}=180^{\circ}$ Suy ra $\widehat{HBG}=180^{\circ}-2\times \widehat{HBA}$ Mặt khác ta có $\widehat{HBD}+\widehat{DBH}=180^{\circ}$ (góc phẳng) Suy ra $\widehat{HBD}=180^{\circ}-\widehat{DBH}$ Mà $\widehat{DBH}=\widehat{HBA}$ (2 góc đối đỉnh) Suy ra $\widehat{HBD}=180^{\circ}-\widehat{HBA}$ Từ đó ta có $\widehat{HBG}=\widehat{HBD}$ Mặt khác ta có $\widehat{BHG}=\widehat{BHD}=90^{\circ}$ nên $\Delta BHG=\Delta BHD(cạnh kề 2 góc vuông)$ Suy ra $\widehat{BGH}=\widehat{BDH}$ Mà $\widehat{BGH}+\widehat{BDH}=180^{\circ}$ (góc phẳng) Suy ra $\widehat{BGH}=\widehat{BDH}=90^{\circ}$ Vậy $DH\perp BG$ Bài 15. 1. Cho $0 < a < b$ và $3(a^2 + b^2) = 10ab$. Tính giá trị của biểu thức $M = \frac{a + b}{a - b}$. Ta có: \[ 3(a^2 + b^2) = 10ab \] \[ 3a^2 + 3b^2 = 10ab \] \[ 3a^2 - 10ab + 3b^2 = 0 \] Chia cả hai vế cho $b^2$: \[ 3\left(\frac{a}{b}\right)^2 - 10\left(\frac{a}{b}\right) + 3 = 0 \] Gọi $\frac{a}{b} = t$, ta có: \[ 3t^2 - 10t + 3 = 0 \] Giải phương trình bậc hai: \[ t = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 36}}{6} = \frac{10 \pm 8}{6} \] \[ t = 3 \text{ hoặc } t = \frac{1}{3} \] Vì $0 < a < b$, nên $\frac{a}{b} < 1$, do đó $t = \frac{1}{3}$. Do đó: \[ \frac{a}{b} = \frac{1}{3} \Rightarrow a = \frac{b}{3} \] Thay vào biểu thức $M$: \[ M = \frac{a + b}{a - b} = \frac{\frac{b}{3} + b}{\frac{b}{3} - b} = \frac{\frac{4b}{3}}{-\frac{2b}{3}} = -2 \] Vậy giá trị của biểu thức $M$ là $-2$. 2. Cho $x, y$ thỏa mãn $5x^2 + 5y^2 + 8xy - 2x + 2y + 2 = 0$. Tính giá trị của biểu thức $M = (x + y)^{2015} + (x - 2)^{2016} + (y + 1)^{2017}$. Ta có: \[ 5x^2 + 5y^2 + 8xy - 2x + 2y + 2 = 0 \] \[ (x + y)^2 + 4(x + y)^2 + 2(x + y) + 2 = 0 \] \[ (x + y + 1)^2 + 4(x + y)^2 + 1 = 0 \] Do $(x + y + 1)^2 \geq 0$ và $4(x + y)^2 \geq 0$, nên: \[ (x + y + 1)^2 + 4(x + y)^2 + 1 = 0 \Rightarrow (x + y + 1)^2 = 0 \text{ và } 4(x + y)^2 = 0 \] Do đó: \[ x + y + 1 = 0 \Rightarrow x + y = -1 \] Thay vào biểu thức $M$: \[ M = (-1)^{2015} + (x - 2)^{2016} + (y + 1)^{2017} \] \[ M = -1 + (x - 2)^{2016} + (y + 1)^{2017} \] Vì $x + y = -1$, nên $y = -1 - x$. Thay vào: \[ M = -1 + (x - 2)^{2016} + (-1 - x + 1)^{2017} \] \[ M = -1 + (x - 2)^{2016} + (-x)^{2017} \] Vì $(-x)^{2017} = -(x^{2017})$, nên: \[ M = -1 + (x - 2)^{2016} - x^{2017} \] Vậy giá trị của biểu thức $M$ là $-1 + (x - 2)^{2016} - x^{2017}$. 3. Tìm các cặp $(x, y)$ nguyên thỏa mãn: $x^2 + xy - 6y^2 + x + 13y = 17$. Ta có: \[ x^2 + xy - 6y^2 + x + 13y = 17 \] \[ (x + 3y)(x - 2y) + x + 13y = 17 \] Để tìm các cặp $(x, y)$ nguyên, ta thử các giá trị $x$ và $y$ sao cho biểu thức trên đúng. 4. Gấp một mảnh giấy hình chữ nhật ABCD như hình vẽ sao cho điểm D trùng với điểm E (E nằm trên BC). Tính CE. Biết $AD = 10~cm, AB = 8~cm$. Ta có: \[ AD = DE = 10~cm \] \[ AB = BE = 8~cm \] Do đó: \[ CE = BC - BE = 10 - 8 = 2~cm \] Vậy giá trị của CE là $2~cm$. 5. Trong công viên có một chiếc cầu dạng hình thang cân ABCD $(AB // CD)$ biết $AB = 2m, AD = 5m, AH = 3m$. Hãy tính khoảng cách DC giữa hai bờ của chiếc cầu. Ta có: \[ AB = 2m \] \[ AD = 5m \] \[ AH = 3m \] Do đó: \[ DH = \sqrt{AD^2 - AH^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4m \] Khoảng cách giữa hai bờ của chiếc cầu là: \[ DC = AB + 2 \times DH = 2 + 2 \times 4 = 2 + 8 = 10m \] Vậy giá trị của khoảng cách DC là $10m$.