Cho tam giác ABC vuông tại 4 có AB < AC, đường cao AH (H e BC). Qua H kè HE vuông góc với AB(E € AB) và kẻ HF vuông góc với AC(F e AC) a) Chúng minh rằng: Tứ giác AEHF là hình chữ nhật. b) Lẩy / là tru...

a) Ta có: $\widehat{AHE} = \widehat{AHF} = 90^\circ$ (vì HE và HF lần lượt vuông góc với AB và AC) $\widehat{AEH} = \widehat{AFH} = 90^\circ$ (vì HE và HF lần lượt vuông góc với AB và AC) Do đó, tứ giác AEHF có 4 góc đều bằng 90°, suy ra tứ giác AEHF là hình chữ nhật. b) Ta có: $\widehat{BAC} = 90^\circ$ (vì tam giác ABC vuông tại A) $\widehat{AHC} = 90^\circ$ (vì AH là đường cao hạ từ đỉnh A) Do đó, $\widehat{BAH} + \widehat{CAH} = 90^\circ$ Mà $\widehat{BAH} + \widehat{ABH} = 90^\circ$ (vì tam giác ABH vuông tại H) Suy ra $\widehat{CAH} = \widehat{ABH}$ Tương tự, ta có $\widehat{ACH} = \widehat{BAH}$ Do đó, tam giác ACH và tam giác ABH đồng dạng (g-g) Suy ra $\frac{AH}{BH} = \frac{CH}{AH}$, tức là $AH^2 = BH \cdot CH$ Ta có: $\widehat{AIH} = \widehat{CIK}$ (đối đỉnh) $\widehat{IAH} = \widehat{ICK}$ (góc ngoài tam giác AIH bằng góc trong cùng phía tam giác CIK) Suy ra tam giác AIH và tam giác CIK đồng dạng (g-g) Suy ra $\frac{AH}{CK} = \frac{IH}{IK}$ Mà I là trung điểm của HC, suy ra $IH = \frac{1}{2}HC$ Lại có K là trung điểm của AK, suy ra $IK = \frac{1}{2}AK$ Suy ra $\frac{AH}{CK} = \frac{\frac{1}{2}HC}{\frac{1}{2}AK} = \frac{HC}{AK}$ Mà $AH^2 = BH \cdot CH$, suy ra $\frac{AH}{CK} = \frac{HC}{AK}$ Suy ra $AH \cdot AK = CK \cdot HC$ Suy ra $\frac{AH}{HC} = \frac{CK}{AK}$ Mà $\widehat{AHC} = \widehat{CAK} = 90^\circ$ Suy ra tam giác AHC và tam giác CAK đồng dạng (cạnh-góc-cạnh) Suy ra $\widehat{ACH} = \widehat{ACK}$ Mà $\widehat{ACH} + \widehat{ACK} = 90^\circ$ (vì tam giác AHC vuông tại H) Suy ra $\widehat{ACK} = 45^\circ$ Suy ra CK vuông góc với AH c) Ta có: $\widehat{CFE} = \widehat{AFE} = 90^\circ$ (vì HF vuông góc với AC) $\widehat{CEF} = \widehat{AEF} = 90^\circ$ (vì HE vuông góc với AB) Suy ra tứ giác CFEK có 2 góc kề một cạnh bằng 90°, suy ra tứ giác CFEK là hình thang cân d) Ta có: $\widehat{OAH} = \widehat{OEF}$ (góc ngoài tam giác OAH bằng góc trong cùng phía tam giác OEF) $\widehat{AOH} = \widehat{EOF}$ (đối đỉnh) Suy ra tam giác OAH và tam giác OEF đồng dạng (g-g) Suy ra $\frac{OA}{OE} = \frac{AH}{EF}$ Mà $AH = EF$ (vì tứ giác AEHF là hình chữ nhật) Suy ra $\frac{OA}{OE} = 1$ Suy ra OA = OE Ta có: $\widehat{OAM} = \widehat{OCE}$ (góc ngoài tam giác OAM bằng góc trong cùng phía tam giác OCE) $\widehat{AOM} = \widehat{COE}$ (đối đỉnh) Suy ra tam giác OAM và tam giác OCE đồng dạng (g-g) Suy ra $\frac{AM}{CE} = \frac{OA}{OC}$ Mà OA = OE, suy ra $\frac{OA}{OC} = \frac{1}{2}$ Suy ra $\frac{AM}{CE} = \frac{1}{2}$ Mà CE = CK (vì tứ giác CFEK là hình thang cân) Suy ra $\frac{AM}{CK} = \frac{1}{2}$ Suy ra AM = $\frac{1}{2}$CK Mà K là trung điểm của AK, suy ra AK = 2CK Suy ra AK = 3AM