dhhdhdjđjdj

Câu 18. Để hàm số $y = \frac{1}{3}x^3 + mx^2 - mx - m$ đồng biến trên tập xác định, ta cần tìm điều kiện của tham số \( m \) sao cho đạo hàm của hàm số luôn dương trên toàn bộ tập xác định. Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số: \[ y' = \left( \frac{1}{3}x^3 + mx^2 - mx - m \right)' = x^2 + 2mx - m \] Bước 2: Để hàm số đồng biến trên tập xác định, đạo hàm \( y' \) phải luôn dương: \[ x^2 + 2mx - m > 0 \quad \forall x \in \mathbb{R} \] Bước 3: Xét dấu của tam thức bậc hai \( x^2 + 2mx - m \). Để tam thức này luôn dương, nó phải không có nghiệm thực hoặc có nghiệm kép và hệ số của \( x^2 \) phải dương. Điều này tương đương với: \[ \Delta < 0 \] Trong đó, \( \Delta \) là biệt thức của tam thức bậc hai: \[ \Delta = (2m)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-m) = 4m^2 + 4m \] Bước 4: Giải bất phương trình \( \Delta < 0 \): \[ 4m^2 + 4m < 0 \] \[ 4m(m + 1) < 0 \] Bước 5: Tìm nghiệm của bất phương trình \( 4m(m + 1) < 0 \): \[ m(m + 1) < 0 \] Phương trình \( m(m + 1) = 0 \) có nghiệm \( m = 0 \) và \( m = -1 \). Do đó, \( m(m + 1) < 0 \) khi: \[ -1 < m < 0 \] Bước 6: Kết luận giá trị nhỏ nhất của \( m \): Trong khoảng \( -1 < m < 0 \), giá trị nhỏ nhất của \( m \) là \( m = -1 \). Vậy giá trị nhỏ nhất của \( m \) để hàm số \( y = \frac{1}{3}x^3 + mx^2 - mx - m \) đồng biến trên tập xác định là: \[ \boxed{-1} \] Câu 19. Trước tiên, ta xác định tọa độ của hai chiếc khinh khí cầu trong hệ tọa độ Oxyz đã cho. - Chiếc khinh khí cầu thứ nhất nằm cách điểm xuất phát 2 km về phía nam và 1 km về phía đông, đồng thời cách mặt đất 0,5 km. Do đó, tọa độ của nó là: \[ A(2, 1, 0.5) \] - Chiếc khinh khí cầu thứ hai nằm cách điểm xuất phát 1 km về phía bắc và 1,5 km về phía tây, đồng thời cách mặt đất 0,8 km. Do đó, tọa độ của nó là: \[ B(-1, -1.5, 0.8) \] Bây giờ, ta tính khoảng cách giữa hai điểm A và B bằng công thức khoảng cách giữa hai điểm trong không gian: \[ AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2} \] Thay tọa độ của A và B vào công thức trên: \[ AB = \sqrt{((-1) - 2)^2 + ((-1.5) - 1)^2 + (0.8 - 0.5)^2} \] \[ AB = \sqrt{(-3)^2 + (-2.5)^2 + (0.3)^2} \] \[ AB = \sqrt{9 + 6.25 + 0.09} \] \[ AB = \sqrt{15.34} \] \[ AB \approx 3.92 \text{ km} \] Vậy khoảng cách giữa hai chiếc khinh khí cầu là khoảng 3,92 km. Câu 20. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định hàm số nồng độ muối trong bể: - Gọi nồng độ muối trong bể sau t phút là \( f(t) \). - Biết rằng tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \( y = f(t) \) là \( y = 10 \). Điều này có nghĩa là khi \( t \to \infty \), \( f(t) \to 10 \). 2. Xác định hàm số nồng độ muối trong bể theo thời gian: - Do nồng độ muối trong bể tiếp cận 10 gam/lít khi thời gian tăng lên vô cùng, ta có thể giả sử hàm số nồng độ muối trong bể có dạng: \[ f(t) = 10 - \frac{k}{t + 1} \] - Trong đó \( k \) là hằng số cần xác định. 3. Xác định hằng số \( k \): - Ban đầu, bể chứa 2 m³ nước tinh khiết, tức là nồng độ muối ban đầu là 0 gam/lít. - Sau 0 phút, hàm số nồng độ muối trong bể là: \[ f(0) = 10 - \frac{k}{0 + 1} = 0 \] - Từ đây, ta có: \[ 10 - k = 0 \implies k = 10 \] 4. Hàm số nồng độ muối trong bể: - Thay \( k = 10 \) vào hàm số, ta có: \[ f(t) = 10 - \frac{10}{t + 1} \] 5. Tính nồng độ muối trong bể sau khi bơm được 1 giờ: - 1 giờ = 60 phút. - Thay \( t = 60 \) vào hàm số: \[ f(60) = 10 - \frac{10}{60 + 1} = 10 - \frac{10}{61} \approx 10 - 0.1639 = 9.8361 \] 6. Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm: - Nồng độ muối trong bể sau khi bơm được 1 giờ là: \[ f(60) \approx 9.84 \text{ gam/lít} \] Đáp số: 9.84 gam/lít. Câu 21. Giả sử giá cho thuê mỗi căn hộ tăng thêm $x$ lần, mỗi lần 100 000 đồng. Khi đó giá cho thuê mỗi căn hộ là: \[ 2 000 000 + 100 000 \times x = 2 000 000 + 100 000x \text{ (đồng)} \] Số căn hộ bị bỏ trống là: \[ 2 \times x = 2x \text{ (căn hộ)} \] Số căn hộ còn lại có người thuê là: \[ 50 - 2x \text{ (căn hộ)} \] Thu nhập hàng tháng của công ty từ việc cho thuê căn hộ là: \[ y = (2 000 000 + 100 000x) \times (50 - 2x) \] \[ y = (20 000 + 100x) \times (50 - 2x) \] \[ y = 1 000 000 + 5 000x - 40 000x - 200x^2 \] \[ y = 1 000 000 + 4 900x - 200x^2 \] Để tìm giá trị lớn nhất của $y$, ta tính đạo hàm của $y$ theo $x$: \[ y' = 4 900 - 400x \] Đặt $y' = 0$ để tìm giá trị của $x$: \[ 4 900 - 400x = 0 \] \[ 400x = 4 900 \] \[ x = \frac{4 900}{400} = 12.25 \] Do $x$ phải là số nguyên, ta xét các giá trị gần nhất là $x = 12$ và $x = 13$. - Khi $x = 12$: \[ y = (20 000 + 100 \times 12) \times (50 - 2 \times 12) \] \[ y = (20 000 + 1 200) \times (50 - 24) \] \[ y = 21 200 \times 26 = 551 200 \text{ (nghìn đồng)} \] - Khi $x = 13$: \[ y = (20 000 + 100 \times 13) \times (50 - 2 \times 13) \] \[ y = (20 000 + 1 300) \times (50 - 26) \] \[ y = 21 300 \times 24 = 511 200 \text{ (nghìn đồng)} \] Như vậy, giá trị lớn nhất của thu nhập hàng tháng là khi $x = 12$. Giá cho thuê mỗi căn hộ là: \[ 2 000 000 + 100 000 \times 12 = 2 000 000 + 1 200 000 = 3 200 000 \text{ (đồng)} \] Đáp số: 3 200 000 đồng. Câu 22. Để tìm giá trị lớn nhất của hàm số \( y = |f(x)| \) trên đoạn \([-1; 1]\), chúng ta sẽ dựa vào bảng biến thiên của hàm số \( f(x) \). Bước 1: Xác định các giá trị của \( f(x) \) tại các điểm đặc biệt trong đoạn \([-1; 1]\): - Tại \( x = -1 \), \( f(-1) = -2 \) - Tại \( x = 0 \), \( f(0) = 0 \) - Tại \( x = 1 \), \( f(1) = 2 \) Bước 2: Xác định các giá trị cực trị của \( f(x) \) trong đoạn \([-1; 1]\): - Hàm số \( f(x) \) đạt cực đại tại \( x = 1 \) với giá trị \( f(1) = 2 \) - Hàm số \( f(x) \) đạt cực tiểu tại \( x = -1 \) với giá trị \( f(-1) = -2 \) Bước 3: Tính giá trị của \( |f(x)| \) tại các điểm đã xác định: - \( |f(-1)| = |-2| = 2 \) - \( |f(0)| = |0| = 0 \) - \( |f(1)| = |2| = 2 \) Bước 4: So sánh các giá trị \( |f(x)| \) để tìm giá trị lớn nhất: - \( |f(-1)| = 2 \) - \( |f(0)| = 0 \) - \( |f(1)| = 2 \) Như vậy, giá trị lớn nhất của hàm số \( y = |f(x)| \) trên đoạn \([-1; 1]\) là 2, đạt được khi \( x = -1 \) hoặc \( x = 1 \). Đáp số: Giá trị lớn nhất của hàm số \( y = |f(x)| \) trên đoạn \([-1; 1]\) là 2, đạt được khi \( x = -1 \) hoặc \( x = 1 \).