chứng minh Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz dạng phân thức

Question

Accepted Answer

Để chứng minh bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng phân thức, ta sẽ sử dụng phương pháp biến đổi đại số và các tính chất cơ bản của số học. Cụ thể, bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng phân thức thường được viết dưới dạng:

$$
\left( \frac{a_1}{b_1} + \frac{a_2}{b_2} + \cdots + \frac{a_n}{b_n} \right) \left( \frac{b_1}{a_1} + \frac{b_2}{a_2} + \cdots + \frac{b_n}{a_n} \right) \geq n^2
$$

Trong đó, $a_i$ và $b_i$ là các số thực dương cho trước.

Bây giờ, ta sẽ chứng minh bất đẳng thức này từng bước.

Bước 1: Xét trường hợp n = 2
Ta xét trường hợp đơn giản nhất với $n = 2$:

$$
\left( \frac{a_1}{b_1} + \frac{a_2}{b_2} \right) \left( \frac{b_1}{a_1} + \frac{b_2}{a_2} \right)
$$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cơ bản cho hai số thực dương $x$ và $y$:

$$
(x + y)^2 \geq 4xy
$$

Áp dụng vào trường hợp của chúng ta:

$$
\left( \frac{a_1}{b_1} + \frac{a_2}{b_2} \right) \left( \frac{b_1}{a_1} + \frac{b_2}{a_2} \right) \geq 4 \sqrt{\frac{a_1}{b_1} \cdot \frac{a_2}{b_2}} \cdot \sqrt{\frac{b_1}{a_1} \cdot \frac{b_2}{a_2}}
$$

$$
= 4 \sqrt{\frac{a_1 a_2}{b_1 b_2}} \cdot \sqrt{\frac{b_1 b_2}{a_1 a_2}} = 4
$$

Vậy, ta đã chứng minh được trường hợp $n = 2$.

Bước 2: Xét trường hợp tổng quát n
Giả sử bất đẳng thức đúng cho $n = k$:

$$
\left( \frac{a_1}{b_1} + \frac{a_2}{b_2} + \cdots + \frac{a_k}{b_k} \right) \left( \frac{b_1}{a_1} + \frac{b_2}{a_2} + \cdots + \frac{b_k}{a_k} \right) \geq k^2
$$

Ta cần chứng minh nó cũng đúng cho $n = k+1$:

$$
\left( \frac{a_1}{b_1} + \frac{a_2}{b_2} + \cdots + \frac{a_{k+1}}{b_{k+1}} \right) \left( \frac{b_1}{a_1} + \frac{b_2}{a_2} + \cdots + \frac{b_{k+1}}{a_{k+1}} \right)
$$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho hai nhóm:

$$
\left( \frac{a_1}{b_1} + \frac{a_2}{b_2} + \cdots + \frac{a_k}{b_k} + \frac{a_{k+1}}{b_{k+1}} \right) \left( \frac{b_1}{a_1} + \frac{b_2}{a_2} + \cdots + \frac{b_k}{a_k} + \frac{b_{k+1}}{a_{k+1}} \right)
$$

Ta có thể nhóm lại thành:

$$
\left( \left( \frac{a_1}{b_1} + \frac{a_2}{b_2} + \cdots + \frac{a_k}{b_k} \right) + \frac{a_{k+1}}{b_{k+1}} \right) \left( \left( \frac{b_1}{a_1} + \frac{b_2}{a_2} + \cdots + \frac{b_k}{a_k} \right) + \frac{b_{k+1}}{a_{k+1}} \right)
$$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho từng nhóm:

$$
\geq \left( \sqrt{k^2} + 1 \right)^2 = (k + 1)^2
$$

Vậy, ta đã chứng minh được bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng phân thức cho mọi $n$.

Kết luận:
Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng phân thức đã được chứng minh hoàn chỉnh cho mọi $n$:

$$
\left( \frac{a_1}{b_1} + \frac{a_2}{b_2} + \cdots + \frac{a_n}{b_n} \right) \left( \frac{b_1}{a_1} + \frac{b_2}{a_2} + \cdots + \frac{b_n}{a_n} \right) \geq n^2
$$