chứng minh Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz dạng phân thức

Để chứng minh bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng phân thức, ta sẽ sử dụng phương pháp biến đổi đại số và các tính chất cơ bản của số học. Cụ thể, bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng phân thức thường được viết dưới dạng: \[ \left( \frac{a_1}{b_1} + \frac{a_2}{b_2} + \cdots + \frac{a_n}{b_n} \right) \left( \frac{b_1}{a_1} + \frac{b_2}{a_2} + \cdots + \frac{b_n}{a_n} \right) \geq n^2 \] Trong đó, \(a_i\) và \(b_i\) là các số thực dương cho trước. Bây giờ, ta sẽ chứng minh bất đẳng thức này từng bước. Bước 1: Xét trường hợp n = 2 Ta xét trường hợp đơn giản nhất với \(n = 2\): \[ \left( \frac{a_1}{b_1} + \frac{a_2}{b_2} \right) \left( \frac{b_1}{a_1} + \frac{b_2}{a_2} \right) \] Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cơ bản cho hai số thực dương \(x\) và \(y\): \[ (x + y)^2 \geq 4xy \] Áp dụng vào trường hợp của chúng ta: \[ \left( \frac{a_1}{b_1} + \frac{a_2}{b_2} \right) \left( \frac{b_1}{a_1} + \frac{b_2}{a_2} \right) \geq 4 \sqrt{\frac{a_1}{b_1} \cdot \frac{a_2}{b_2}} \cdot \sqrt{\frac{b_1}{a_1} \cdot \frac{b_2}{a_2}} \] \[ = 4 \sqrt{\frac{a_1 a_2}{b_1 b_2}} \cdot \sqrt{\frac{b_1 b_2}{a_1 a_2}} = 4 \] Vậy, ta đã chứng minh được trường hợp \(n = 2\). Bước 2: Xét trường hợp tổng quát n Giả sử bất đẳng thức đúng cho \(n = k\): \[ \left( \frac{a_1}{b_1} + \frac{a_2}{b_2} + \cdots + \frac{a_k}{b_k} \right) \left( \frac{b_1}{a_1} + \frac{b_2}{a_2} + \cdots + \frac{b_k}{a_k} \right) \geq k^2 \] Ta cần chứng minh nó cũng đúng cho \(n = k+1\): \[ \left( \frac{a_1}{b_1} + \frac{a_2}{b_2} + \cdots + \frac{a_{k+1}}{b_{k+1}} \right) \left( \frac{b_1}{a_1} + \frac{b_2}{a_2} + \cdots + \frac{b_{k+1}}{a_{k+1}} \right) \] Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho hai nhóm: \[ \left( \frac{a_1}{b_1} + \frac{a_2}{b_2} + \cdots + \frac{a_k}{b_k} + \frac{a_{k+1}}{b_{k+1}} \right) \left( \frac{b_1}{a_1} + \frac{b_2}{a_2} + \cdots + \frac{b_k}{a_k} + \frac{b_{k+1}}{a_{k+1}} \right) \] Ta có thể nhóm lại thành: \[ \left( \left( \frac{a_1}{b_1} + \frac{a_2}{b_2} + \cdots + \frac{a_k}{b_k} \right) + \frac{a_{k+1}}{b_{k+1}} \right) \left( \left( \frac{b_1}{a_1} + \frac{b_2}{a_2} + \cdots + \frac{b_k}{a_k} \right) + \frac{b_{k+1}}{a_{k+1}} \right) \] Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho từng nhóm: \[ \geq \left( \sqrt{k^2} + 1 \right)^2 = (k + 1)^2 \] Vậy, ta đã chứng minh được bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng phân thức cho mọi \(n\). Kết luận: Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng phân thức đã được chứng minh hoàn chỉnh cho mọi \(n\): \[ \left( \frac{a_1}{b_1} + \frac{a_2}{b_2} + \cdots + \frac{a_n}{b_n} \right) \left( \frac{b_1}{a_1} + \frac{b_2}{a_2} + \cdots + \frac{b_n}{a_n} \right) \geq n^2 \]