Giai ho em bai cuoi ki 1

Câu 16: a) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là: 300 - 50 = 250 (km) Vậy mệnh đề này đúng. b) Để tính khoảng tứ phân vị, ta cần tìm các giá trị Q1 và Q3. - Tổng số ngày là 30 ngày. - Q1 nằm ở vị trí $\frac{30}{4} = 7,5$, tức là ở khoảng thứ hai ([100; 150)). - Q3 nằm ở vị trí $\frac{3 \times 30}{4} = 22,5$, tức là ở khoảng thứ tư ([200; 250)). Ta tính trung vị của các khoảng này: - Q1 = 100 + $\frac{(150 - 100) \times (7,5 - 5)}{10}$ = 100 + $\frac{50 \times 2,5}{10}$ = 100 + 12,5 = 112,5 - Q3 = 200 + $\frac{(250 - 200) \times (22,5 - 19)}{4}$ = 200 + $\frac{50 \times 3,5}{4}$ = 200 + 43,75 = 243,75 Khoảng tứ phân vị là: Q3 - Q1 = 243,75 - 112,5 = 131,25 Vậy mệnh đề này sai. c) Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là: $\frac{5 \times 75 + 10 \times 125 + 9 \times 175 + 4 \times 225 + 2 \times 275}{30}$ = $\frac{375 + 1250 + 1575 + 900 + 550}{30}$ = $\frac{4650}{30}$ = 155 Vậy mệnh đề này sai. d) Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là: $\sqrt{\frac{(75 - 155)^2 \times 5 + (125 - 155)^2 \times 10 + (175 - 155)^2 \times 9 + (225 - 155)^2 \times 4 + (275 - 155)^2 \times 2}{30}}$ = $\sqrt{\frac{(-80)^2 \times 5 + (-30)^2 \times 10 + 20^2 \times 9 + 70^2 \times 4 + 120^2 \times 2}{30}}$ = $\sqrt{\frac{6400 \times 5 + 900 \times 10 + 400 \times 9 + 4900 \times 4 + 14400 \times 2}{30}}$ = $\sqrt{\frac{32000 + 9000 + 3600 + 19600 + 28800}{30}}$ = $\sqrt{\frac{92000}{30}}$ = $\sqrt{3066,67}$ ≈ 55,38 Vậy mệnh đề này sai. Câu 17: Để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \( y = (x^2 + x - m)^2 \) trên đoạn \([-2; 2]\), ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( f(x) = x^2 + x - m \) trên đoạn này trước. Bước 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của \( f(x) = x^2 + x - m \) trên đoạn \([-2; 2]\). Đạo hàm của \( f(x) \): \[ f'(x) = 2x + 1 \] Tìm điểm cực trị: \[ f'(x) = 0 \Rightarrow 2x + 1 = 0 \Rightarrow x = -\frac{1}{2} \] Kiểm tra giá trị của \( f(x) \) tại các điểm biên và điểm cực trị: - Tại \( x = -2 \): \[ f(-2) = (-2)^2 + (-2) - m = 4 - 2 - m = 2 - m \] - Tại \( x = -\frac{1}{2} \): \[ f\left(-\frac{1}{2}\right) = \left(-\frac{1}{2}\right)^2 + \left(-\frac{1}{2}\right) - m = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} - m = -\frac{1}{4} - m \] - Tại \( x = 2 \): \[ f(2) = 2^2 + 2 - m = 4 + 2 - m = 6 - m \] Giá trị nhỏ nhất của \( f(x) \) trên đoạn \([-2; 2]\) là: \[ \min(f(-2), f(-\frac{1}{2}), f(2)) = \min(2 - m, -\frac{1}{4} - m, 6 - m) \] Bước 2: Xác định giá trị nhỏ nhất của \( y = (x^2 + x - m)^2 \). Giá trị nhỏ nhất của \( y \) sẽ là bình phương của giá trị nhỏ nhất của \( f(x) \). Ta cần \( \min(f(x))^2 = 4 \). Do đó: \[ \min(2 - m, -\frac{1}{4} - m, 6 - m) = \pm 2 \] Xét hai trường hợp: 1. \( \min(2 - m, -\frac{1}{4} - m, 6 - m) = 2 \) 2. \( \min(2 - m, -\frac{1}{4} - m, 6 - m) = -2 \) Trường hợp 1: \( \min(2 - m, -\frac{1}{4} - m, 6 - m) = 2 \) - \( 2 - m = 2 \Rightarrow m = 0 \) - \( -\frac{1}{4} - m = 2 \Rightarrow m = -\frac{9}{4} \) - \( 6 - m = 2 \Rightarrow m = 4 \) Trường hợp 2: \( \min(2 - m, -\frac{1}{4} - m, 6 - m) = -2 \) - \( 2 - m = -2 \Rightarrow m = 4 \) - \( -\frac{1}{4} - m = -2 \Rightarrow m = \frac{7}{4} \) - \( 6 - m = -2 \Rightarrow m = 8 \) Tổng các giá trị \( m \) trong tập hợp \( S \): \[ 0 + (-\frac{9}{4}) + 4 + 4 + \frac{7}{4} + 8 = 0 - 2.25 + 4 + 4 + 1.75 + 8 = 15.5 \] Vậy tổng các phần tử của tập hợp \( S \) là: \[ \boxed{15.5} \] Câu 18: Trước tiên, ta xác định tọa độ của con chim bói cá và con cá trong hệ tọa độ Oxyz. - Con chim bói cá đang ở vị trí cách mặt nước 2,5m, cách mặt phẳng (Oxy) lần lượt là 2 và 3. Do đó, tọa độ của con chim bói cá là \( A(2, 3, 2,5) \). - Con cá cách mặt nước 0m, cách mặt phẳng (Oxy) lần lượt là 4 và 3,5. Do đó, tọa độ của con cá là \( B(4, 3,5, 0) \). Tiếp theo, ta xác định tọa độ của điểm \( C(x, y, z) \) là lúc chim bói cá vừa tiếp xúc với mặt nước. Vì điểm này nằm trên mặt nước nên tọa độ z của nó sẽ là 0. Ta cần tìm tọa độ x và y của điểm này. Ta thấy rằng đường thẳng từ con chim bói cá đến con cá sẽ đi qua điểm \( C \). Ta có thể viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm \( A \) và \( B \): Phương trình tham số của đường thẳng đi qua hai điểm \( A(2, 3, 2,5) \) và \( B(4, 3,5, 0) \) là: \[ \begin{cases} x = 2 + t(4 - 2) \\ y = 3 + t(3,5 - 3) \\ z = 2,5 + t(0 - 2,5) \end{cases} \] Simplifying the equations: \[ \begin{cases} x = 2 + 2t \\ y = 3 + 0,5t \\ z = 2,5 - 2,5t \end{cases} \] Khi chim bói cá tiếp xúc với mặt nước, tọa độ z sẽ là 0: \[ 2,5 - 2,5t = 0 \Rightarrow t = 1 \] Thay \( t = 1 \) vào phương trình tham số để tìm tọa độ của điểm \( C \): \[ \begin{cases} x = 2 + 2 \cdot 1 = 4 \\ y = 3 + 0,5 \cdot 1 = 3,5 \\ z = 0 \end{cases} \] Do đó, tọa độ của điểm \( C \) là \( (4, 3,5, 0) \). Cuối cùng, ta tính tổng \( x + y + z \): \[ x + y + z = 4 + 3,5 + 0 = 7,5 \] Đáp số: 7,5 Câu 19: Để tính diện tích của tam giác OAB, chúng ta cần xác định tọa độ của các điểm cực trị A và B của đồ thị hàm số \( f(x) = e^{2x} - 5e^x + 2x + 1 \). Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số \( f(x) \): \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(e^{2x} - 5e^x + 2x + 1) = 2e^{2x} - 5e^x + 2 \] Bước 2: Xác định các điểm cực trị bằng cách giải phương trình \( f'(x) = 0 \): \[ 2e^{2x} - 5e^x + 2 = 0 \] Đặt \( y = e^x \), ta có: \[ 2y^2 - 5y + 2 = 0 \] Giải phương trình bậc hai này: \[ y = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 16}}{4} = \frac{5 \pm 3}{4} \] \[ y_1 = 2, \quad y_2 = \frac{1}{2} \] Do đó: \[ e^x = 2 \Rightarrow x = \ln(2) \] \[ e^x = \frac{1}{2} \Rightarrow x = \ln\left(\frac{1}{2}\right) = -\ln(2) \] Bước 3: Tính giá trị của hàm số tại các điểm cực trị: - Tại \( x = \ln(2) \): \[ f(\ln(2)) = e^{2\ln(2)} - 5e^{\ln(2)} + 2\ln(2) + 1 = 4 - 10 + 2\ln(2) + 1 = 2\ln(2) - 5 \] - Tại \( x = -\ln(2) \): \[ f(-\ln(2)) = e^{-2\ln(2)} - 5e^{-\ln(2)} + 2(-\ln(2)) + 1 = \frac{1}{4} - \frac{5}{2} - 2\ln(2) + 1 = -\frac{3}{4} - 2\ln(2) \] Bước 4: Xác định tọa độ các điểm cực trị: - Điểm A: \( (\ln(2), 2\ln(2) - 5) \) - Điểm B: \( (-\ln(2), -\frac{3}{4} - 2\ln(2)) \) Bước 5: Tính diện tích tam giác OAB: Diện tích tam giác OAB được tính bằng công thức: \[ S = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) \right| \] Ở đây, \( O(0,0) \), \( A(\ln(2), 2\ln(2) - 5) \), \( B(-\ln(2), -\frac{3}{4} - 2\ln(2)) \): \[ S = \frac{1}{2} \left| 0 + \ln(2)\left(-\frac{3}{4} - 2\ln(2) - 0\right) + (-\ln(2))(0 - (2\ln(2) - 5)) \right| \] \[ S = \frac{1}{2} \left| \ln(2)\left(-\frac{3}{4} - 2\ln(2)\right) + (-\ln(2))(2\ln(2) - 5) \right| \] \[ S = \frac{1}{2} \left| -\frac{3}{4}\ln(2) - 2\ln^2(2) - 2\ln^2(2) + 5\ln(2) \right| \] \[ S = \frac{1}{2} \left| -4\ln^2(2) + \frac{17}{4}\ln(2) \right| \] Tính toán cụ thể: \[ \ln(2) \approx 0,693 \] \[ S \approx \frac{1}{2} \left| -4(0,693)^2 + \frac{17}{4}(0,693) \right| \] \[ S \approx \frac{1}{2} \left| -4(0,480) + 2,995 \right| \] \[ S \approx \frac{1}{2} \left| -1,920 + 2,995 \right| \] \[ S \approx \frac{1}{2} \left| 1,075 \right| \] \[ S \approx 0,5375 \] Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm: \[ S \approx 0,54 \] Đáp số: Diện tích của tam giác OAB là 0,54. Câu 20: Để tính độ dài đoạn thẳng OH, ta cần xác định tọa độ của trực tâm H của tam giác ABC trước. Bước 1: Xác định tọa độ trực tâm H của tam giác ABC Trực tâm H của tam giác ABC là giao điểm của ba đường cao hạ từ các đỉnh A, B, C xuống các cạnh đối diện. Đường cao hạ từ A xuống BC: - Phương trình đường thẳng BC: \[ \overrightarrow{BC} = (-2; 0; 1) \] Phương trình tham số của đường thẳng BC: \[ \left\{ \begin{array}{l} x = 2 - 2t \\ y = 1 \\ z = 1 + t \end{array} \right. \] - Đường cao hạ từ A xuống BC vuông góc với BC: \[ \overrightarrow{AH} \cdot \overrightarrow{BC} = 0 \] Gọi H có tọa độ $(x_H, y_H, z_H)$, ta có: \[ (x_H - 1, y_H - 2, z_H + 1) \cdot (-2, 0, 1) = 0 \] \[ -2(x_H - 1) + (z_H + 1) = 0 \] \[ -2x_H + 2 + z_H + 1 = 0 \] \[ -2x_H + z_H = -3 \quad \text{(1)} \] Đường cao hạ từ B xuống AC: - Phương trình đường thẳng AC: \[ \overrightarrow{AC} = (-1; -1; 3) \] Phương trình tham số của đường thẳng AC: \[ \left\{ \begin{array}{l} x = 1 - t \\ y = 2 - t \\ z = -1 + 3t \end{array} \right. \] - Đường cao hạ từ B xuống AC vuông góc với AC: \[ \overrightarrow{BH} \cdot \overrightarrow{AC} = 0 \] Gọi H có tọa độ $(x_H, y_H, z_H)$, ta có: \[ (x_H - 2, y_H - 1, z_H - 1) \cdot (-1, -1, 3) = 0 \] \[ -(x_H - 2) - (y_H - 1) + 3(z_H - 1) = 0 \] \[ -x_H + 2 - y_H + 1 + 3z_H - 3 = 0 \] \[ -x_H - y_H + 3z_H = 0 \quad \text{(2)} \] Giải hệ phương trình (1) và (2): \[ \left\{ \begin{array}{l} -2x_H + z_H = -3 \\ -x_H - y_H + 3z_H = 0 \end{array} \right. \] Từ phương trình (1): \[ z_H = 2x_H - 3 \] Thay vào phương trình (2): \[ -x_H - y_H + 3(2x_H - 3) = 0 \] \[ -x_H - y_H + 6x_H - 9 = 0 \] \[ 5x_H - y_H = 9 \quad \text{(3)} \] Giải phương trình (3) để tìm $y_H$: \[ y_H = 5x_H - 9 \] Thay lại vào phương trình (1): \[ z_H = 2x_H - 3 \] Ta có tọa độ H: \[ H(x_H, 5x_H - 9, 2x_H - 3) \] Bước 2: Xác định tọa độ O (gốc tọa độ) O có tọa độ $(0, 0, 0)$. Bước 3: Tính độ dài đoạn thẳng OH Sử dụng công thức khoảng cách giữa hai điểm trong không gian: \[ OH = \sqrt{(x_H - 0)^2 + (y_H - 0)^2 + (z_H - 0)^2} \] \[ OH = \sqrt{x_H^2 + (5x_H - 9)^2 + (2x_H - 3)^2} \] Kết luận: Độ dài đoạn thẳng OH được tính dựa trên tọa độ của H và O. Câu 21: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định phương trình của hàm số bậc ba \( y = f(x) \). 2. Tìm điểm cực đại và cực tiểu của hàm số để xác định chiều cao của ngọn đồi và độ sâu của hồ. 3. Tính chiều cao của ngọn đồi dựa trên các thông tin đã cho. Bước 1: Xác định phương trình của hàm số bậc ba Hàm số bậc ba có dạng: \[ y = ax^3 + bx^2 + cx + d \] Từ đồ thị, ta thấy rằng hàm số đi qua các điểm: - \( A(-1, 0) \) - \( B(1, 0) \) - Điểm cực tiểu \( C(0, -0.16) \) Ta thay các điểm này vào phương trình để tìm các hệ số \( a, b, c, d \). Thay điểm \( A(-1, 0) \): \[ 0 = a(-1)^3 + b(-1)^2 + c(-1) + d \] \[ 0 = -a + b - c + d \quad \text{(1)} \] Thay điểm \( B(1, 0) \): \[ 0 = a(1)^3 + b(1)^2 + c(1) + d \] \[ 0 = a + b + c + d \quad \text{(2)} \] Thay điểm \( C(0, -0.16) \): \[ -0.16 = a(0)^3 + b(0)^2 + c(0) + d \] \[ d = -0.16 \quad \text{(3)} \] Thay \( d = -0.16 \) vào (1) và (2): \[ 0 = -a + b - c - 0.16 \quad \text{(4)} \] \[ 0 = a + b + c - 0.16 \quad \text{(5)} \] Cộng (4) và (5): \[ 0 = 2b - 0.32 \] \[ b = 0.16 \] Thay \( b = 0.16 \) vào (4): \[ 0 = -a + 0.16 - c - 0.16 \] \[ 0 = -a - c \] \[ a = -c \] Thay \( a = -c \) vào (5): \[ 0 = -c + 0.16 + c - 0.16 \] \[ 0 = 0 \] Do đó, ta có: \[ a = -c \] \[ b = 0.16 \] \[ d = -0.16 \] Chọn \( c = k \), ta có: \[ a = -k \] Phương trình hàm số bậc ba trở thành: \[ y = -kx^3 + 0.16x^2 + kx - 0.16 \] Bước 2: Tìm điểm cực đại và cực tiểu Đạo hàm của hàm số: \[ y' = -3kx^2 + 0.32x + k \] Đặt \( y' = 0 \): \[ -3kx^2 + 0.32x + k = 0 \] Giải phương trình bậc hai: \[ x = \frac{-0.32 \pm \sqrt{(0.32)^2 - 4(-3k)(k)}}{2(-3k)} \] \[ x = \frac{-0.32 \pm \sqrt{0.1024 + 12k^2}}{-6k} \] Từ đồ thị, ta biết rằng điểm cực tiểu là \( x = 0 \) và điểm cực đại nằm giữa \( x = -1 \) và \( x = 1 \). Bước 3: Tính chiều cao của ngọn đồi Chiều cao của ngọn đồi là giá trị cực đại của hàm số. Ta thay \( x = 0 \) vào phương trình hàm số: \[ y = -k(0)^3 + 0.16(0)^2 + k(0) - 0.16 \] \[ y = -0.16 \] Do đó, chiều cao của ngọn đồi là: \[ \text{Chiều cao của ngọn đồi} = 0.16 \times 1000 = 160 \text{ m} \] Đáp số: Chiều cao của ngọn đồi là 160 m.