Giúppo emmm

Câu 2. Trước tiên, ta xác định tọa độ của các đỉnh của hình hộp lập phương ABCD.EFGH trong hệ tọa độ Oxyz. - Điểm O trùng với tâm của ABCD, do đó tọa độ của O là $(0, 0, 0)$. - Vì ABCD là hình vuông cạnh 5, nên tọa độ của các đỉnh của ABCD sẽ là: - A: $\left(-\frac{5\sqrt{2}}{2}, -\frac{5\sqrt{2}}{2}, 0\right)$ - B: $\left(\frac{5\sqrt{2}}{2}, -\frac{5\sqrt{2}}{2}, 0\right)$ - C: $\left(\frac{5\sqrt{2}}{2}, \frac{5\sqrt{2}}{2}, 0\right)$ - D: $\left(-\frac{5\sqrt{2}}{2}, \frac{5\sqrt{2}}{2}, 0\right)$ - Điểm I là tâm của ABCD, do đó tọa độ của I là $(0, 0, 0)$. - Điểm I' là tâm của EFGH, do đó tọa độ của I' là $(0, 0, 5)$. - Các đỉnh của EFGH sẽ là: - E: $\left(-\frac{5\sqrt{2}}{2}, -\frac{5\sqrt{2}}{2}, 5\right)$ - F: $\left(\frac{5\sqrt{2}}{2}, -\frac{5\sqrt{2}}{2}, 5\right)$ - G: $\left(\frac{5\sqrt{2}}{2}, \frac{5\sqrt{2}}{2}, 5\right)$ - H: $\left(-\frac{5\sqrt{2}}{2}, \frac{5\sqrt{2}}{2}, 5\right)$ Bây giờ, ta kiểm tra lại các tọa độ đã cho: a) Tọa độ điểm $E=\left(0; -\frac{5\sqrt{2}}{2}; 5\right)$. - Đúng, vì E nằm ở tâm của ABCD và cách mặt phẳng ABCD một khoảng 5 đơn vị dọc theo trục Oz. b) Tọa độ điểm $F=\left(\frac{5\sqrt{2}}{2}; 0; 5\right)$. - Đúng, vì F nằm ở tâm của ABCD và cách mặt phẳng ABCD một khoảng 5 đơn vị dọc theo trục Oz. c) Tọa độ điểm $H=\left(-\frac{5\sqrt{2}}{2}; 0; 5\right)$. - Đúng, vì H nằm ở tâm của ABCD và cách mặt phẳng ABCD một khoảng 5 đơn vị dọc theo trục Oz. d) Tọa độ điểm $B=(0; 0; 0)$. - Sai, vì B nằm ở tâm của ABCD và cách mặt phẳng ABCD một khoảng 0 đơn vị dọc theo trục Oz. Vậy, các tọa độ đúng là: a) Tọa độ điểm $E=\left(0; -\frac{5\sqrt{2}}{2}; 5\right)$. b) Tọa độ điểm $F=\left(\frac{5\sqrt{2}}{2}; 0; 5\right)$. c) Tọa độ điểm $H=\left(-\frac{5\sqrt{2}}{2}; 0; 5\right)$. d) Tọa độ điểm $B=\left(\frac{5\sqrt{2}}{2}; -\frac{5\sqrt{2}}{2}; 0\right)$. Câu 3. Đầu tiên, ta tính đạo hàm của hàm số $y=\frac{x^2}3-\frac{3x^2}2$. \[ y' = \left(\frac{x^2}{3}\right)' - \left(\frac{3x^2}{2}\right)' = \frac{2x}{3} - 3x = \frac{2x - 9x}{3} = \frac{-7x}{3}. \] Bây giờ, ta xét từng khẳng định: a) $y' = x^2 - 3x$. Đúng hay sai? Ta đã tính $y' = \frac{-7x}{3}$, nên khẳng định này là sai. b) $y' = 0$ khi $x = -1$, $x = 4$. Đúng hay sai? Ta có $y' = \frac{-7x}{3}$. Để $y' = 0$, ta cần $\frac{-7x}{3} = 0$, suy ra $x = 0$. Vậy khẳng định này là sai. c) $y(3) = -\frac{9}{2}$. Đúng hay sai? Ta thay $x = 3$ vào hàm số: \[ y(3) = \frac{3^2}{3} - \frac{3 \cdot 3^2}{2} = \frac{9}{3} - \frac{27}{2} = 3 - \frac{27}{2} = \frac{6}{2} - \frac{27}{2} = \frac{6 - 27}{2} = \frac{-21}{2}. \] Vậy khẳng định này là sai. d) Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn $[-2;7]$ bằng $\frac{245}{6}$. Đúng hay sai? Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn $[-2;7]$. Ta đã tính $y' = \frac{-7x}{3}$. Để tìm điểm cực trị, ta giải phương trình $y' = 0$: \[ \frac{-7x}{3} = 0 \Rightarrow x = 0. \] Ta kiểm tra giá trị của hàm số tại các điểm biên và điểm cực trị: \[ y(-2) = \frac{(-2)^2}{3} - \frac{3 \cdot (-2)^2}{2} = \frac{4}{3} - \frac{12}{2} = \frac{4}{3} - 6 = \frac{4}{3} - \frac{18}{3} = \frac{-14}{3}, \] \[ y(0) = \frac{0^2}{3} - \frac{3 \cdot 0^2}{2} = 0, \] \[ y(7) = \frac{7^2}{3} - \frac{3 \cdot 7^2}{2} = \frac{49}{3} - \frac{147}{2} = \frac{98}{6} - \frac{441}{6} = \frac{98 - 441}{6} = \frac{-343}{6}. \] Trong các giá trị này, giá trị nhỏ nhất là $\frac{-343}{6}$. Vậy khẳng định này là sai. Kết luận: a) Sai. b) Sai. c) Sai. d) Sai. Câu 4. a) Ta có: \[ \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} = (3 + 8, -5 + 4, 6 - 8) = (11, -1, -2) \] b) Ta có: \[ 3\overrightarrow{b} - 2\overrightarrow{c} = 3(3, -5, 6) - 2(8, 4, -8) = (9, -15, 18) - (16, 8, -16) = (9 - 16, -15 - 8, 18 + 16) = (-7, -23, 34) \] c) Ta tính độ dài của vectơ $\overrightarrow{c}$: \[ |\overrightarrow{c}| = \sqrt{8^2 + 4^2 + (-8)^2} = \sqrt{64 + 16 + 64} = \sqrt{144} = 12 \] d) Ta tính cosin của góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{b}$ và $\overrightarrow{c}$: \[ \cos(\overrightarrow{b}, \overrightarrow{c}) = \frac{\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}}{|\overrightarrow{b}| |\overrightarrow{c}|} \] Trước tiên, ta tính tích vô hướng $\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}$: \[ \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c} = 3 \cdot 8 + (-5) \cdot 4 + 6 \cdot (-8) = 24 - 20 - 48 = -44 \] Sau đó, ta tính độ dài của vectơ $\overrightarrow{b}$: \[ |\overrightarrow{b}| = \sqrt{3^2 + (-5)^2 + 6^2} = \sqrt{9 + 25 + 36} = \sqrt{70} \] Vậy: \[ \cos(\overrightarrow{b}, \overrightarrow{c}) = \frac{-44}{\sqrt{70} \cdot 12} = \frac{-44}{12\sqrt{70}} = \frac{-11}{3\sqrt{70}} = -\frac{11\sqrt{70}}{210} \] Đáp số: a) $\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} = (11, -1, -2)$ b) $3\overrightarrow{b} - 2\overrightarrow{c} = (-7, -23, 34)$ c) $|\overrightarrow{c}| = 12$ d) $\cos(\overrightarrow{b}, \overrightarrow{c}) = -\frac{11\sqrt{70}}{210}$ Câu 1. Để tính phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm trung vị của mỗi nhóm: - Nhóm [7 ; 10): Trung vị là $\frac{7 + 10}{2} = 8.5$ - Nhóm [10 ; 13): Trung vị là $\frac{10 + 13}{2} = 11.5$ - Nhóm [13 ; 16): Trung vị là $\frac{13 + 16}{2} = 14.5$ - Nhóm (16 ; 19): Trung vị là $\frac{16 + 19}{2} = 17.5$ - Nhóm [19 ; 22): Trung vị là $\frac{19 + 22}{2} = 20.5$ - Nhóm [22 ; 25): Trung vị là $\frac{22 + 25}{2} = 23.5$ 2. Tính tổng số lượng mẫu: Tổng số nhân viên là: $10 + 9 + 5 + 5 + 15 + 15 = 60$ 3. Tính trung bình cộng của mẫu số liệu: \[ \bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n} f_i x_i}{\sum_{i=1}^{n} f_i} \] Trong đó, $f_i$ là tần số của nhóm thứ i và $x_i$ là trung vị của nhóm thứ i. \[ \bar{x} = \frac{(10 \times 8.5) + (9 \times 11.5) + (5 \times 14.5) + (5 \times 17.5) + (15 \times 20.5) + (15 \times 23.5)}{60} \] \[ \bar{x} = \frac{85 + 103.5 + 72.5 + 87.5 + 307.5 + 352.5}{60} = \frac{1008.5}{60} \approx 16.81 \] 4. Tính phương sai: Phương sai được tính theo công thức: \[ s^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n} f_i (x_i - \bar{x})^2}{\sum_{i=1}^{n} f_i} \] Ta tính từng phần: \[ (8.5 - 16.81)^2 = (-8.31)^2 = 69.0561 \] \[ (11.5 - 16.81)^2 = (-5.31)^2 = 28.1961 \] \[ (14.5 - 16.81)^2 = (-2.31)^2 = 5.3361 \] \[ (17.5 - 16.81)^2 = (0.69)^2 = 0.4761 \] \[ (20.5 - 16.81)^2 = (3.69)^2 = 13.6161 \] \[ (23.5 - 16.81)^2 = (6.69)^2 = 44.7561 \] Tính tổng: \[ \sum_{i=1}^{n} f_i (x_i - \bar{x})^2 = 10 \times 69.0561 + 9 \times 28.1961 + 5 \times 5.3361 + 5 \times 0.4761 + 15 \times 13.6161 + 15 \times 44.7561 \] \[ = 690.561 + 253.7649 + 26.6805 + 2.3805 + 204.2415 + 671.3415 = 1848.97 \] Phương sai: \[ s^2 = \frac{1848.97}{60} \approx 30.82 \] Vậy phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm trên là khoảng 30.8 (làm tròn đến hàng phần mười). Câu 2. Để tính độ lớn của hợp lực của ba lực $\overrightarrow{F_1}$, $\overrightarrow{F_2}$, $\overrightarrow{F_3}$, ta thực hiện theo các bước sau: 1. Tìm hợp lực của hai lực đầu tiên: Ta có hai lực $\overrightarrow{F_1}$ và $\overrightarrow{F_2}$ có phương vuông góc nhau và có độ lớn lần lượt là 3 N và 3 N. Độ lớn của hợp lực $\overrightarrow{F_{12}}$ của hai lực này là: \[ |\overrightarrow{F_{12}}| = \sqrt{|\overrightarrow{F_1}|^2 + |\overrightarrow{F_2}|^2} = \sqrt{3^2 + 3^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \text{ N} \] 2. Tìm hợp lực của ba lực: Bây giờ, ta cần tìm hợp lực của $\overrightarrow{F_{12}}$ và $\overrightarrow{F_3}$. Ta có $\overrightarrow{F_{12}}$ có độ lớn là $3\sqrt{2}$ N và $\overrightarrow{F_3}$ có độ lớn là 4 N. Độ lớn của hợp lực $\overrightarrow{F}$ của ba lực là: \[ |\overrightarrow{F}| = \sqrt{|\overrightarrow{F_{12}}|^2 + |\overrightarrow{F_3}|^2} = \sqrt{(3\sqrt{2})^2 + 4^2} = \sqrt{18 + 16} = \sqrt{34} \approx 5.8 \text{ N} \] Vậy độ lớn của hợp lực của ba lực là khoảng 5.8 N.