sossssssssss

Câu 14: Để tìm nguyên hàm của hàm số \( f(x) = 2 \sin x \), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định nguyên hàm của hàm số \( \sin x \). Ta biết rằng: \[ \int \sin x \, dx = -\cos x + C \] Bước 2: Nhân nguyên hàm của \( \sin x \) với 2 để tìm nguyên hàm của \( 2 \sin x \). \[ \int 2 \sin x \, dx = 2 \int \sin x \, dx = 2 (-\cos x) + C = -2 \cos x + C \] Vậy nguyên hàm của hàm số \( f(x) = 2 \sin x \) là: \[ \int 2 \sin x \, dx = -2 \cos x + C \] Do đó, đáp án đúng là: A. \( \int 2 \sin x \, dx = -2 \cos x + C \) Đáp án: A. \( \int 2 \sin x \, dx = -2 \cos x + C \) Câu 15: Để tìm nguyên hàm của hàm số \( f(x) = x^3 + x \), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định nguyên hàm của mỗi thành phần trong tổng \( x^3 \) và \( x \). - Nguyên hàm của \( x^3 \): \[ \int x^3 \, dx = \frac{x^4}{4} + C_1 \] - Nguyên hàm của \( x \): \[ \int x \, dx = \frac{x^2}{2} + C_2 \] Bước 2: Cộng các nguyên hàm lại với nhau: \[ \int (x^3 + x) \, dx = \frac{x^4}{4} + \frac{x^2}{2} + C \] Trong đó, \( C \) là hằng số tích phân, bao gồm cả \( C_1 \) và \( C_2 \). Vậy, nguyên hàm của hàm số \( f(x) = x^3 + x \) là: \[ \frac{x^4}{4} + \frac{x^2}{2} + C \] Do đó, đáp án đúng là: A. $\frac{1}{4}x^4 + \frac{1}{2}x^2 + C$ Đáp án: A. $\frac{1}{4}x^4 + \frac{1}{2}x^2 + C$ Câu 16: Để tìm tất cả các nguyên hàm của hàm số \( f(x) = 2x + 3 \), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm nguyên hàm của mỗi thành phần trong hàm số \( f(x) \). - Nguyên hàm của \( 2x \) là \( \int 2x \, dx = 2 \cdot \frac{x^2}{2} = x^2 \). - Nguyên hàm của \( 3 \) là \( \int 3 \, dx = 3x \). Bước 2: Cộng các nguyên hàm lại và thêm hằng số \( C \). \[ \int (2x + 3) \, dx = x^2 + 3x + C \] Vậy, tất cả các nguyên hàm của hàm số \( f(x) = 2x + 3 \) là \( x^2 + 3x + C \). Do đó, đáp án đúng là: A. \( x^2 + 3x + C \). Câu 17: Để tìm nguyên hàm của hàm số \( f(x) = \sqrt{2x - 1} \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định hàm số cần tính nguyên hàm: \[ f(x) = \sqrt{2x - 1} \] Bước 2: Áp dụng phương pháp nguyên hàm từng phần hoặc thay đổi biến số để tính nguyên hàm. Trong trường hợp này, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp thay đổi biến số. Bước 3: Thay đổi biến số: Gọi \( u = 2x - 1 \). Khi đó, \( du = 2 dx \) hay \( dx = \frac{1}{2} du \). Bước 4: Viết lại nguyên hàm theo biến mới: \[ \int \sqrt{2x - 1} \, dx = \int \sqrt{u} \cdot \frac{1}{2} \, du = \frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2}} \, du \] Bước 5: Tính nguyên hàm của \( u^{\frac{1}{2}} \): \[ \frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2}} \, du = \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} + C = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C = \frac{1}{3} u^{\frac{3}{2}} + C \] Bước 6: Quay trở lại biến số ban đầu: \[ \frac{1}{3} u^{\frac{3}{2}} + C = \frac{1}{3} (2x - 1)^{\frac{3}{2}} + C \] Bước 7: Kết luận: \[ \int \sqrt{2x - 1} \, dx = \frac{1}{3} (2x - 1) \sqrt{2x - 1} + C \] Vậy đáp án đúng là: B. $\int f(x)dx = \frac{1}{3}(2x - 1) \sqrt{2x - 1} + C$. Câu 18: Để tìm nguyên hàm của hàm số \( f(x) = x^2 + \frac{2}{x^2} \), chúng ta sẽ tính nguyên hàm từng phần của mỗi thành phần trong tổng này. Bước 1: Tính nguyên hàm của \( x^2 \). \[ \int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3} + C_1 \] Bước 2: Tính nguyên hàm của \( \frac{2}{x^2} \). \[ \int \frac{2}{x^2} \, dx = 2 \int x^{-2} \, dx = 2 \left( \frac{x^{-1}}{-1} \right) + C_2 = -\frac{2}{x} + C_2 \] Bước 3: Kết hợp hai kết quả trên lại để tìm nguyên hàm của \( f(x) \). \[ \int f(x) \, dx = \int \left( x^2 + \frac{2}{x^2} \right) \, dx = \frac{x^3}{3} - \frac{2}{x} + C \] Trong đó, \( C = C_1 + C_2 \) là hằng số tích phân. Vậy nguyên hàm của hàm số \( f(x) = x^2 + \frac{2}{x^2} \) là: \[ \int f(x) \, dx = \frac{x^3}{3} - \frac{2}{x} + C \] Do đó, đáp án đúng là: B. $\int f(x) \, dx = \frac{x^3}{3} - \frac{2}{x} + C$. Câu 19: Để tìm nguyên hàm của hàm số \( f(x) = \frac{1}{5x - 2} \), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định dạng của nguyên hàm. Nguyên hàm của hàm số \( \frac{1}{u} \) là \( \ln |u| + C \). Trong trường hợp này, \( u = 5x - 2 \). Bước 2: Áp dụng công thức nguyên hàm. Ta có: \[ \int \frac{dx}{5x - 2} = \frac{1}{5} \int \frac{d(5x - 2)}{5x - 2} \] Bước 3: Tính nguyên hàm. Theo công thức nguyên hàm của \( \frac{1}{u} \): \[ \int \frac{d(5x - 2)}{5x - 2} = \ln |5x - 2| + C \] Do đó: \[ \int \frac{dx}{5x - 2} = \frac{1}{5} \ln |5x - 2| + C \] Vậy đáp án đúng là: A. \( \int \frac{dx}{5x - 2} = \frac{1}{5} \ln |5x - 2| + C \) Đáp án: A. \( \int \frac{dx}{5x - 2} = \frac{1}{5} \ln |5x - 2| + C \) Câu 20: Để tìm nguyên hàm của hàm số \( f(x) = \cos(3x) \), chúng ta sẽ sử dụng phương pháp thay đổi biến số. Bước 1: Xác định biến số mới. Gọi \( u = 3x \). Khi đó, \( du = 3 \, dx \) hoặc \( dx = \frac{du}{3} \). Bước 2: Thay đổi biến số trong nguyên hàm. \[ \int \cos(3x) \, dx = \int \cos(u) \cdot \frac{du}{3} \] Bước 3: Tính nguyên hàm theo biến số mới. \[ \int \cos(u) \cdot \frac{du}{3} = \frac{1}{3} \int \cos(u) \, du \] Ta biết rằng nguyên hàm của \( \cos(u) \) là \( \sin(u) \), do đó: \[ \frac{1}{3} \int \cos(u) \, du = \frac{1}{3} \sin(u) + C \] Bước 4: Quay lại biến số ban đầu. Thay \( u = 3x \) vào kết quả trên: \[ \frac{1}{3} \sin(u) + C = \frac{1}{3} \sin(3x) + C \] Vậy nguyên hàm của \( f(x) = \cos(3x) \) là: \[ \int \cos(3x) \, dx = \frac{\sin(3x)}{3} + C \] Do đó, đáp án đúng là: B. $\int \cos(3x) \, dx = \frac{\sin(3x)}{3} + C$. Câu 21: Để tìm nguyên hàm của hàm số \( f(x) = x^3 + x^2 \), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định nguyên hàm của mỗi thành phần trong tổng. - Nguyên hàm của \( x^3 \) là \( \frac{x^4}{4} \). - Nguyên hàm của \( x^2 \) là \( \frac{x^3}{3} \). Bước 2: Cộng các nguyên hàm lại và thêm hằng số \( C \): \[ \int (x^3 + x^2) \, dx = \frac{x^4}{4} + \frac{x^3}{3} + C \] Vậy nguyên hàm của hàm số \( f(x) = x^3 + x^2 \) là: \[ \frac{x^4}{4} + \frac{x^3}{3} + C \] Do đó, đáp án đúng là: A. \( \frac{1}{4}x^4 + \frac{1}{3}x^3 + C \) Đáp án: A. \( \frac{1}{4}x^4 + \frac{1}{3}x^3 + C \) Câu 22: Để tìm họ nguyên hàm của hàm số \( f(x) = e^x + x \), chúng ta sẽ tính nguyên hàm từng phần của hàm số này. Bước 1: Tính nguyên hàm của \( e^x \): \[ \int e^x \, dx = e^x + C_1 \] Bước 2: Tính nguyên hàm của \( x \): \[ \int x \, dx = \frac{1}{2}x^2 + C_2 \] Bước 3: Cộng các kết quả trên lại: \[ \int (e^x + x) \, dx = e^x + \frac{1}{2}x^2 + C \] Trong đó, \( C = C_1 + C_2 \) là hằng số tích phân. Vậy họ nguyên hàm của hàm số \( f(x) = e^x + x \) là: \[ e^x + \frac{1}{2}x^2 + C \] Do đó, đáp án đúng là: C. \( e^x + \frac{1}{2}x^2 + C \) Đáp số: C. \( e^x + \frac{1}{2}x^2 + C \) Câu 23: Để tìm họ tất cả các nguyên hàm của hàm số \( f(x) = 2x + 5 \), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm nguyên hàm của mỗi thành phần trong hàm số \( f(x) \). - Nguyên hàm của \( 2x \) là \( \int 2x \, dx = 2 \cdot \frac{x^2}{2} = x^2 \). - Nguyên hàm của \( 5 \) là \( \int 5 \, dx = 5x \). Bước 2: Cộng các nguyên hàm lại và thêm hằng số \( C \). \[ \int (2x + 5) \, dx = x^2 + 5x + C \] Vậy họ tất cả các nguyên hàm của hàm số \( f(x) = 2x + 5 \) là \( x^2 + 5x + C \). Do đó, đáp án đúng là: B. \( x^2 + 5x + C \). Câu 24: Để tìm nguyên hàm của hàm số \( f(x) = 7^x \), chúng ta sẽ sử dụng công thức nguyên hàm của hàm mũ cơ bản. Công thức nguyên hàm của hàm số \( a^x \) là: \[ \int a^x \, dx = \frac{a^x}{\ln a} + C \] Trong đó, \( a \) là hằng số dương khác 1 và \( \ln a \) là lôgarit tự nhiên của \( a \). Áp dụng công thức này vào hàm số \( f(x) = 7^x \): - \( a = 7 \) - \( \ln a = \ln 7 \) Do đó, nguyên hàm của \( 7^x \) là: \[ \int 7^x \, dx = \frac{7^x}{\ln 7} + C \] Vậy đáp án đúng là: A. \( \int 7^x \, dx = \frac{7^x}{\ln 7} + C \) Đáp án: A. \( \int 7^x \, dx = \frac{7^x}{\ln 7} + C \)