Chọn đúng sai

Câu 2. a) Đúng vì theo bảng biến thiên, hàm số đồng biến trên khoảng $(0; +\infty)$. b) Đúng vì đồ thị hàm số $y = \frac{1}{f(x) + 2a2^0}$ sẽ có đúng 2 tiệm cận đứng khi $f(x) + 2a2^0$ có hai giá trị làm mẫu số bằng 0. Theo bảng biến thiên, hàm số $f(x)$ có hai điểm cực đại và cực tiểu, do đó $f(x) + 2a2^0$ cũng sẽ có hai giá trị làm mẫu số bằng 0, dẫn đến hai tiệm cận đứng. c) Sai vì theo bảng biến thiên, hàm số nghịch biến trên khoảng $(-\infty; 0)$. Do đó, $f(-5) < f(-4)$. d) Sai vì theo bảng biến thiên, hàm số không có giá trị nhỏ nhất. Giá trị nhỏ nhất của hàm số là giá trị cực tiểu, nhưng theo bảng biến thiên, giá trị cực tiểu của hàm số là 1, không phải 2. Đáp án: a) Đúng, b) Đúng, c) Sai, d) Sai. Câu 3. a) Ta có: \[ \overrightarrow{AK} = \overrightarrow{AS} + \overrightarrow{SK} \] \[ \overrightarrow{SK} = \frac{1}{2} \overrightarrow{SC} \] \[ \overrightarrow{SC} = \overrightarrow{SA} + \overrightarrow{AC} \] Do đó: \[ \overrightarrow{SK} = \frac{1}{2} (\overrightarrow{SA} + \overrightarrow{AC}) \] \[ \overrightarrow{AK} = \overrightarrow{AS} + \frac{1}{2} (\overrightarrow{SA} + \overrightarrow{AC}) \] \[ \overrightarrow{AK} = \frac{1}{2} \overrightarrow{AS} + \frac{1}{2} \overrightarrow{AC} \] \[ \overrightarrow{AK} = \frac{1}{2} (\overrightarrow{AS} + \overrightarrow{AC}) \] b) Ta có: \[ \overrightarrow{SK} = \frac{1}{2} \overrightarrow{SC} \] \[ \overrightarrow{SC} = \overrightarrow{SA} + \overrightarrow{AC} \] \[ \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} \] \[ \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{SB} - \overrightarrow{SA} \] \[ \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{SD} - \overrightarrow{SA} \] Do đó: \[ \overrightarrow{AC} = (\overrightarrow{SB} - \overrightarrow{SA}) + (\overrightarrow{SD} - \overrightarrow{SA}) \] \[ \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{SB} + \overrightarrow{SD} - 2\overrightarrow{SA} \] \[ \overrightarrow{SC} = \overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SB} + \overrightarrow{SD} - 2\overrightarrow{SA} \] \[ \overrightarrow{SC} = \overrightarrow{SB} + \overrightarrow{SD} - \overrightarrow{SA} \] \[ \overrightarrow{SK} = \frac{1}{2} (\overrightarrow{SB} + \overrightarrow{SD} - \overrightarrow{SA}) \] c) Ta có: \[ \overrightarrow{SA}^2 + \overrightarrow{SC}^2 = \overrightarrow{SA}^2 + (\overrightarrow{SA} + \overrightarrow{AC})^2 \] \[ \overrightarrow{SA}^2 + \overrightarrow{SC}^2 = \overrightarrow{SA}^2 + \overrightarrow{SA}^2 + 2\overrightarrow{SA} \cdot \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AC}^2 \] \[ \overrightarrow{SA}^2 + \overrightarrow{SC}^2 = 2\overrightarrow{SA}^2 + 2\overrightarrow{SA} \cdot \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AC}^2 \] \[ \overrightarrow{SB}^2 + \overrightarrow{SD}^2 = (\overrightarrow{SA} + \overrightarrow{AB})^2 + (\overrightarrow{SA} + \overrightarrow{AD})^2 \] \[ \overrightarrow{SB}^2 + \overrightarrow{SD}^2 = \overrightarrow{SA}^2 + 2\overrightarrow{SA} \cdot \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AB}^2 + \overrightarrow{SA}^2 + 2\overrightarrow{SA} \cdot \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AD}^2 \] \[ \overrightarrow{SB}^2 + \overrightarrow{SD}^2 = 2\overrightarrow{SA}^2 + 2\overrightarrow{SA} \cdot (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}) + \overrightarrow{AB}^2 + \overrightarrow{AD}^2 \] \[ \overrightarrow{SB}^2 + \overrightarrow{SD}^2 = 2\overrightarrow{SA}^2 + 2\overrightarrow{SA} \cdot \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AC}^2 \] Do đó: \[ \overrightarrow{SA}^2 + \overrightarrow{SC}^2 = \overrightarrow{SB}^2 + \overrightarrow{SD}^2 \] d) Ta có: \[ \overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SC} = \overrightarrow{SA} + (\overrightarrow{SA} + \overrightarrow{AC}) \] \[ \overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SC} = 2\overrightarrow{SA} + \overrightarrow{AC} \] \[ \overrightarrow{SB} + \overrightarrow{SD} = (\overrightarrow{SA} + \overrightarrow{AB}) + (\overrightarrow{SA} + \overrightarrow{AD}) \] \[ \overrightarrow{SB} + \overrightarrow{SD} = 2\overrightarrow{SA} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} \] \[ \overrightarrow{SB} + \overrightarrow{SD} = 2\overrightarrow{SA} + \overrightarrow{AC} \] Do đó: \[ \overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SC} = \overrightarrow{SB} + \overrightarrow{SD} \] Đáp án đúng là: c) $\overrightarrow{SA}^2 + \overrightarrow{SC}^2 = \overrightarrow{SB}^2 + \overrightarrow{SD}^2$. Câu 4. a) Tiệm cận đứng: $x=-2.$ - Từ bảng biến thiên, ta thấy khi $x \rightarrow -2^{-}$ thì $y \rightarrow +\infty$ và khi $x \rightarrow -2^{+}$ thì $y \rightarrow -\infty$. Do đó, đường thẳng $x = -2$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. b) Đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận ngang - Từ bảng biến thiên, ta thấy khi $x \rightarrow -\infty$ thì $y \rightarrow 1$ và khi $x \rightarrow +\infty$ thì $y \rightarrow 1$. Do đó, đường thẳng $y = 1$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. c) Công thức của hàm số $f(x)=\frac{x^2+2x+4}{x+2}.$ - Ta có thể kiểm tra công thức của hàm số bằng cách thực hiện phép chia đa thức: \[ f(x) = \frac{x^2 + 2x + 4}{x + 2} \] Thực hiện phép chia: \[ x^2 + 2x + 4 = (x + 2)(x) + 4 \] \[ x^2 + 2x + 4 = x(x + 2) + 4 \] \[ x^2 + 2x + 4 = x^2 + 2x + 4 \] Do đó, công thức của hàm số đúng là: \[ f(x) = \frac{x^2 + 2x + 4}{x + 2} \] d) Điểm cực đại: $x=-4.$ điểm cực tiểu $x=0$ - Từ bảng biến thiên, ta thấy: - Khi $x < -4$, hàm số giảm. - Khi $-4 < x < 0$, hàm số tăng. - Khi $x > 0$, hàm số giảm. Do đó, điểm cực đại là $x = -4$ và điểm cực tiểu là $x = 0$. Đáp số: a) Tiệm cận đứng: $x = -2$. b) Tiệm cận ngang: $y = 1$. c) Công thức của hàm số: $f(x) = \frac{x^2 + 2x + 4}{x + 2}$. d) Điểm cực đại: $x = -4$, điểm cực tiểu: $x = 0$. Câu 1. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ phân tích các thông tin từ bảng biến thiên của hàm số \( f(x) = \frac{ax - 6}{bx - c} \). 1. Xác định các điểm đặc biệt trên bảng biến thiên: - Hàm số có tiệm cận đứng tại \( x = 2 \). Điều này cho thấy mẫu số \( bx - c = 0 \) khi \( x = 2 \). Do đó, ta có: \[ b \cdot 2 - c = 0 \implies 2b = c \implies c = 2b \] 2. Xác định giới hạn của hàm số: - Khi \( x \to \pm \infty \), hàm số \( f(x) \) tiến đến giá trị \( \frac{a}{b} \). Điều này cho thấy: \[ \lim_{x \to \pm \infty} f(x) = \frac{a}{b} \] - Từ bảng biến thiên, ta thấy rằng khi \( x \to \pm \infty \), giá trị của hàm số tiến đến 3. Do đó: \[ \frac{a}{b} = 3 \implies a = 3b \] 3. Xác định dấu của các hệ số: - Ta đã biết \( c = 2b \) và \( a = 3b \). Để xác định dấu của \( b \), ta cần xem xét các giá trị của hàm số ở các khoảng khác nhau trên bảng biến thiên. - Khi \( x < 2 \), hàm số \( f(x) \) giảm từ \( +\infty \) xuống 3. Điều này cho thấy \( b > 0 \) vì mẫu số \( bx - c \) phải âm khi \( x < 2 \) để hàm số giảm. - Khi \( x > 2 \), hàm số \( f(x) \) tăng từ 3 lên \( +\infty \). Điều này cũng cho thấy \( b > 0 \) vì mẫu số \( bx - c \) phải dương khi \( x > 2 \) để hàm số tăng. 4. Tổng kết các giá trị: - \( b > 0 \) - \( c = 2b \), do đó \( c > 0 \) - \( a = 3b \), do đó \( a > 0 \) Như vậy, cả ba số \( a \), \( b \), và \( c \) đều dương. Đáp số: 3 số dương.