Câu 7.
Để $\cos(\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b})$ lớn nhất, ta cần $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ cùng hướng hoặc ngược hướng. Điều này có nghĩa là tồn tại một số thực $k$ sao cho:
\[ \overrightarrow{a} = k \overrightarrow{b} \]
Ta có:
\[ (2; m-1; 3) = k (1; 3; -2n) \]
Từ đây, ta có hệ phương trình:
\[ 2 = k \]
\[ m - 1 = 3k \]
\[ 3 = -2nk \]
Thay $k = 2$ vào hai phương trình còn lại:
\[ m - 1 = 3 \cdot 2 \]
\[ m - 1 = 6 \]
\[ m = 7 \]
\[ 3 = -2n \cdot 2 \]
\[ 3 = -4n \]
\[ n = -\frac{3}{4} \]
Vậy $m = 7$ và $n = -\frac{3}{4}$.
Do đó, đáp án đúng là:
\[ A.~m=7;n=-\frac{3}{4}. \]
Câu 8.
Để tìm tọa độ điểm M sao cho $\overrightarrow{AM} - 2\overrightarrow{MB}$ đạt giá trị nhỏ nhất, ta thực hiện các bước sau:
1. Tìm vectơ $\overrightarrow{AB}$:
\[
\overrightarrow{AB} = B - A = (-2 - 4, -1 - 2, 4 - 1) = (-6, -3, 3)
\]
2. Tìm điểm M trên đoạn thẳng AB:
Gọi M có tọa độ $(x, y, z)$. Ta có:
\[
\overrightarrow{AM} = (x - 4, y - 2, z - 1)
\]
\[
\overrightarrow{MB} = (-2 - x, -1 - y, 4 - z)
\]
3. Tính $\overrightarrow{AM} - 2\overrightarrow{MB}$:
\[
\overrightarrow{AM} - 2\overrightarrow{MB} = (x - 4, y - 2, z - 1) - 2(-2 - x, -1 - y, 4 - z)
\]
\[
= (x - 4, y - 2, z - 1) + (4 + 2x, 2 + 2y, -8 + 2z)
\]
\[
= (x - 4 + 4 + 2x, y - 2 + 2 + 2y, z - 1 - 8 + 2z)
\]
\[
= (3x, 3y, 3z - 9)
\]
4. Tìm giá trị nhỏ nhất của $\overrightarrow{AM} - 2\overrightarrow{MB}$:
Để $\overrightarrow{AM} - 2\overrightarrow{MB}$ đạt giá trị nhỏ nhất, ta cần tìm điểm M sao cho:
\[
|3x| + |3y| + |3z - 9|
\]
đạt giá trị nhỏ nhất. Điều này xảy ra khi $x = 0$, $y = 0$, và $z = 3$.
5. Kiểm tra lại các đáp án:
- Đáp án A: $M(0, 0, 3)$
- Đáp án B: $M(0, 0, -3)$
- Đáp án C: $M(-8, -4, 7)$
- Đáp án D: $M(8, 4, -7)$
Chỉ có đáp án A: $M(0, 0, 3)$ thỏa mãn điều kiện trên.
Vậy tọa độ điểm M là:
\[
\boxed{M(0, 0, 3)}
\]
Câu 9.
Để tìm tọa độ điểm \( M \) thuộc mặt phẳng \( (Oxy) \) sao cho \( |MA - MB| \) lớn nhất, ta thực hiện các bước sau:
1. Xác định tọa độ điểm \( M \):
Vì \( M \) thuộc mặt phẳng \( (Oxy) \), tọa độ của \( M \) sẽ có dạng \( M(x, y, 0) \).
2. Tính khoảng cách từ \( M \) đến \( A \) và \( B \):
- Khoảng cách từ \( M \) đến \( A \):
\[
MA = \sqrt{(x - 2)^2 + (y + 2)^2 + (0 - 1)^2} = \sqrt{(x - 2)^2 + (y + 2)^2 + 1}
\]
- Khoảng cách từ \( M \) đến \( B \):
\[
MB = \sqrt{(x - 0)^2 + (y - 1)^2 + (0 - 2)^2} = \sqrt{x^2 + (y - 1)^2 + 4}
\]
3. Tìm giá trị lớn nhất của \( |MA - MB| \):
Để \( |MA - MB| \) lớn nhất, ta cần tìm điểm \( M \) sao cho \( MA \) và \( MB \) có sự chênh lệch lớn nhất. Điều này thường xảy ra khi \( M \) nằm trên đường thẳng đi qua \( A \) và \( B \) nhưng ở vị trí xa nhất.
4. Xác định phương trình đường thẳng đi qua \( A \) và \( B \):
- Vector \( \overrightarrow{AB} \) là:
\[
\overrightarrow{AB} = (0 - 2, 1 + 2, 2 - 1) = (-2, 3, 1)
\]
- Phương trình tham số của đường thẳng đi qua \( A \) và \( B \) là:
\[
\begin{cases}
x = 2 - 2t \\
y = -2 + 3t \\
z = 1 + t
\end{cases}
\]
Vì \( M \) thuộc mặt phẳng \( (Oxy) \), ta có \( z = 0 \). Do đó:
\[
1 + t = 0 \implies t = -1
\]
Thay \( t = -1 \) vào phương trình tham số:
\[
\begin{cases}
x = 2 - 2(-1) = 4 \\
y = -2 + 3(-1) = -5 \\
z = 0
\end{cases}
\]
Vậy tọa độ của \( M \) là \( M(4, -5, 0) \).
Do đó, đáp án đúng là:
\[
\boxed{A.~M(4, -5, 0)}
\]