giải chính xác Câu 1. Trong không gian tọa độ (Oxyz), cho điểm $A(1;2;1)$ và mặt phẳng,$(\alpha):~x-2y+2z+2=0.$ Mặt phẳng (B) song song với mặt phẳng $(\alpha)$ và cách A một khoảng bằng,1. Khi đó mặt phẳng (B) dạng $x-by+cz+d=0,$ trong đó b,c,d là các số thực dương. Giá trị của,biểu thức $S=3b-c+d$ là bao nhiêu?

Question

Accepted Answer

Câu 1.
Để tìm phương trình của mặt phẳng (B) song song với mặt phẳng $(\alpha)$ và cách điểm $A(1;2;1)$ một khoảng bằng 1, ta làm như sau:

1. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$:
   Mặt phẳng $(\alpha)$ có phương trình $x - 2y + 2z + 2 = 0$. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng này là $\vec{n} = (1, -2, 2)$.

2. Phương trình mặt phẳng (B) song song với mặt phẳng $(\alpha)$:
   Vì mặt phẳng (B) song song với mặt phẳng $(\alpha)$, nên vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (B) cũng là $\vec{n} = (1, -2, 2)$. Do đó, phương trình của mặt phẳng (B) có dạng:
   $$
   x - 2y + 2z + d = 0
   $$
   Trong đó, $d$ là hằng số cần tìm.

3. Tính khoảng cách từ điểm $A(1;2;1)$ đến mặt phẳng (B):
   Khoảng cách từ điểm $A(1;2;1)$ đến mặt phẳng $x - 2y + 2z + d = 0$ được tính bằng công thức:
   $$
   \text{Khoảng cách} = \frac{|1 - 2 \cdot 2 + 2 \cdot 1 + d|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2 + 2^2}} = \frac{|1 - 4 + 2 + d|}{\sqrt{1 + 4 + 4}} = \frac{|d - 1|}{3}
   $$
   Theo đề bài, khoảng cách này bằng 1, nên ta có:
   $$
   \frac{|d - 1|}{3} = 1 \implies |d - 1| = 3
   $$
   Từ đây, ta có hai trường hợp:
   $$
   d - 1 = 3 \quad \text{hoặc} \quad d - 1 = -3
   $$
   Giải ra ta được:
   $$
   d = 4 \quad \text{hoặc} \quad d = -2
   $$

4. Chọn giá trị của $d$:
   Vì $d$ phải là số thực dương, ta chọn $d = 4$. Vậy phương trình của mặt phẳng (B) là:
   $$
   x - 2y + 2z + 4 = 0
   $$

5. Tìm giá trị của biểu thức $S = 3b - c + d$:
   So sánh phương trình của mặt phẳng (B) với dạng $x - by + cz + d = 0$, ta thấy $b = 2$, $c = 2$, và $d = 4$. Do đó:
   $$
   S = 3b - c + d = 3 \cdot 2 - 2 + 4 = 6 - 2 + 4 = 8
   $$

Vậy giá trị của biểu thức $S$ là $\boxed{8}$.