Điền đúng sai cho tứo Câu 17: Trong không gian Oxyz cho điểm $M(-1;1;3)$ và hai đường thẳng,$d_1:\frac{x-1}3=\frac{y+3}2=\frac{z-1}1,~d_2:\frac{x+1}1=\frac y3=\frac z{-2}.$,a) Phương trình tham số của đường thẳng $d_2$ là $\left\{\begin{array}lx=-1+t\y=3t\z=-2t\end{array} ight.(t\in R)$,b) Đường thẳng $d_1$ đi qua điểm M.,c) Hai đường thẳng $d_1$ và $d_2$ cắt nhau.,d) Đường thẳng d đi qua M, vuông góc với $d_1$ và $d_2$ là $\frac{x+1}3=\frac{y-1}{-1}=\frac{z-3}2.$,Trang 5

Question

Điền đúng sai cho tứo Câu 17: Trong không gian Oxyz cho điểm $M(-1;1;3)$ và hai đường thẳng,$d_1:\frac{x-1}3=\frac{y+3}2=\frac{z-1}1,~d_2:\frac{x+1}1=\frac y3=\frac z{-2}.$,a) Phương trình tham số của đường thẳng $d_2$ là $\left\{\begin{array}lx=-1+t\y=3t\z=-2t\end{array}ight.(t\in R)$,b) Đường thẳng $d_1$ đi qua điểm M.,c) Hai đường thẳng $d_1$ và $d_2$ cắt nhau.,d) Đường thẳng d đi qua M, vuông góc với $d_1$ và $d_2$ là $\frac{x+1}3=\frac{y-1}{-1}=\frac{z-3}2.$,Trang 5

Accepted Answer

Câu 17:
a) Phương trình tham số của đường thẳng $d_2$ là $\left\{\begin{array}lx=-1+t\y=3t\z=-2t\end{array}ight.(t\in R)$

b) Thay tọa độ điểm M vào phương trình của $d_1$, ta có:
$\frac{-1-1}{3} = \frac{1+3}{2} = \frac{3-1}{1}$
$\Rightarrow \frac{-2}{3} = \frac{4}{2} = \frac{2}{1}$
$\Rightarrow -\frac{2}{3} = 2 = 2$ (sai)
Do đó, đường thẳng $d_1$ không đi qua điểm M.

c) Để kiểm tra xem hai đường thẳng $d_1$ và $d_2$ có cắt nhau hay không, ta cần tìm giao điểm của chúng. Ta có:
$d_1: \frac{x-1}{3} = \frac{y+3}{2} = \frac{z-1}{1} = t$
$\Rightarrow x = 3t + 1, y = 2t - 3, z = t + 1$

$d_2: \frac{x+1}{1} = \frac{y}{3} = \frac{z}{-2} = s$
$\Rightarrow x = s - 1, y = 3s, z = -2s$

Bây giờ, ta cần giải hệ phương trình:
$3t + 1 = s - 1$
$2t - 3 = 3s$
$t + 1 = -2s$

Từ phương trình thứ nhất:
$s = 3t + 2$

Thay vào phương trình thứ hai:
$2t - 3 = 3(3t + 2)$
$2t - 3 = 9t + 6$
$-7t = 9$
$t = -\frac{9}{7}$

Thay $t = -\frac{9}{7}$ vào phương trình $s = 3t + 2$:
$s = 3\left(-\frac{9}{7}ight) + 2$
$s = -\frac{27}{7} + 2$
$s = -\frac{27}{7} + \frac{14}{7}$
$s = -\frac{13}{7}$

Kiểm tra lại phương trình thứ ba:
$t + 1 = -2s$
$-\frac{9}{7} + 1 = -2\left(-\frac{13}{7}ight)$
$-\frac{9}{7} + \frac{7}{7} = \frac{26}{7}$
$-\frac{2}{7} = \frac{26}{7}$ (sai)

Do đó, hai đường thẳng $d_1$ và $d_2$ không cắt nhau.

d) Đường thẳng d đi qua M, vuông góc với $d_1$ và $d_2$. Ta cần tìm vector pháp tuyến của mặt phẳng chứa $d_1$ và $d_2$.

Vector chỉ phương của $d_1$ là $\vec{u_1} = (3, 2, 1)$
Vector chỉ phương của $d_2$ là $\vec{u_2} = (1, 3, -2)$

Vector pháp tuyến của mặt phẳng chứa $d_1$ và $d_2$ là:
$\vec{n} = \vec{u_1} 	imes \vec{u_2} = \begin{vmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \
3 & 2 & 1 \
1 & 3 & -2
\end{vmatrix}$
$= \vec{i}(2 \cdot (-2) - 1 \cdot 3) - \vec{j}(3 \cdot (-2) - 1 \cdot 1) + \vec{k}(3 \cdot 3 - 2 \cdot 1)$
$= \vec{i}(-4 - 3) - \vec{j}(-6 - 1) + \vec{k}(9 - 2)$
$= -7\vec{i} + 7\vec{j} + 7\vec{k}$
$= (-7, 7, 7)$

Phương trình tham số của đường thẳng d là:
$\left\{\begin{array}lx = -1 - 7t \ y = 1 + 7t \ z = 3 + 7t \end{array}ight.$

Phương trình chính tắc của đường thẳng d là:
$\frac{x+1}{-7} = \frac{y-1}{7} = \frac{z-3}{7}$

Đáp số:
a) $\left\{\begin{array}lx=-1+t\y=3t\z=-2t\end{array}ight.(t\in R)$
b) Sai
c) Sai
d) $\frac{x+1}{-7} = \frac{y-1}{7} = \frac{z-3}{7}$