Cho tam giác ABC vuông tại A (AB< AC), có trung tuyến AM . Kẻ MN vuông góc AB và MP vuông góc AC (N thuộc AB; P thuộc AC ). a) Tứ giác ANMP là hình gì ? Vì sao ? b) Kẻ đường cao AH của tam giác ABC...

a)
Tam giác ABC vuông tại A $\displaystyle \Longrightarrow \widehat{NAP} =90^{0}$
Có: MN$\displaystyle \bot $AB$\displaystyle \Longrightarrow \widehat{MNB} =\widehat{MNA} =90^{0}$
Có: MP$\displaystyle \bot $AC$\displaystyle \Longrightarrow \widehat{MPA} =\widehat{MPC} =90^{0}$
Xét tứ giác ANMP, có:
$\displaystyle \widehat{NAP} =\widehat{MNA} =\widehat{MPA} =90^{0}$
⟹ ANMP là hình chữ nhật 
b)
Có: $\displaystyle \begin{cases}
AH\bot BC & \\
AH//KM & 
\end{cases} \Longrightarrow KM\bot BC$
Mà M là trung điểm BC
⟹ KM là đường trung trực của BC
$\displaystyle \Longrightarrow KB=KC$
⟹ Tam giác KBC cân tại K
Tam giác KBC có KM là đường cao ⟹ KM đồng thời là phân giác $\displaystyle \Longrightarrow \widehat{BKM} =\widehat{MKC}$
Vì ANMP là hình chữ nhật ⟹ MN//AP hay MN//AC
mà M là trung điểm BC
⟹ N là trung điểm AB
Tam giác ABH vuông tại H có HN là trung tuyến ứng với cạnh huyền AB
⟹ HN=$\displaystyle \frac{AB}{2}$=NB=NA
⟹Tam giác NHB cân tại N $\displaystyle \Longrightarrow \hat{B} =\widehat{NHB} =\widehat{H_{1}}$
Có: $\displaystyle \begin{cases}
\hat{B} =90^{0} -\hat{C} & \\
\widehat{MKC} =90^{0} -\hat{C} & 
\end{cases} \Longrightarrow \hat{B} =\widehat{MKC}$ mà $\displaystyle \begin{cases}
\hat{B} =\widehat{NHB} & \\
\widehat{MKC} =\widehat{BKM} & 
\end{cases} \Longrightarrow \widehat{NHB} =\widehat{BKM}$
Gọi giao điểm của BK và HN là D
Xét $\displaystyle \triangle BDH$ và $\displaystyle \triangle BMK$, có:
$\displaystyle \widehat{HBD}$ chung
$\displaystyle \widehat{DHB} =\widehat{MKB}$
$\displaystyle  \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
\Longrightarrow \triangle BDH\backsim \triangle BMK\ ( g-g)\\
\Longrightarrow \widehat{BDH} =\widehat{BMK} =90^{0}
\end{array}$
hay BK$\displaystyle \bot $HN
Vì ANMP là hình chữ nhật ⟹ MP//AN hay MP//AB
mà M là trung điểm BC ⟹ P là trung điểm AC
Tam giác AHC vuông tại H có: HP là trung tuyến ứng với cạnh huyền AC
$\displaystyle \Longrightarrow HP=\frac{AC}{2} =PA=PC$
⟹ Tam giác HPC cân tại P $\displaystyle \Longrightarrow \widehat{H_{4}} =\hat{C}$
Có:
$\displaystyle \widehat{H_{1}} +\widehat{H_{2}} +\widehat{H_{3}} +\widehat{H_{4}} =180^{0}$ mà $\displaystyle \widehat{H_{1}} =\hat{B} ;\ \widehat{H_{4}} =\hat{C}$
$\displaystyle \Longrightarrow \widehat{H_{2}} +\widehat{H_{3}} +\hat{B} +\hat{C} =180^{0}$ 
mà $\displaystyle \hat{B} +\hat{C} =90^{0}$
$\displaystyle \Longrightarrow \widehat{H_{2}} +\widehat{H_{3}} =90^{0}$
hay $\displaystyle \widehat{NHP} =90^{0} \ \Longrightarrow HN\bot HP$
mà $\displaystyle BK\bot HN\Longrightarrow BK//HP$