Làm hộ em bài này với

Câu 5: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ lần lượt vẽ các miền biểu diễn của từng bất phương trình và tìm giao của chúng. 1. Bất phương trình \(0 \leq x \leq 10\): - Đây là đoạn thẳng nằm giữa hai đường thẳng \(x = 0\) và \(x = 10\). 2. Bất phương trình \(0 \leq y \leq 12\): - Đây là đoạn thẳng nằm giữa hai đường thẳng \(y = 0\) và \(y = 12\). 3. Bất phương trình \(2x + 3y \geq 26\): - Ta vẽ đường thẳng \(2x + 3y = 26\). - Khi \(x = 0\), ta có \(3y = 26 \Rightarrow y = \frac{26}{3}\). - Khi \(y = 0\), ta có \(2x = 26 \Rightarrow x = 13\). - Vì \(x \leq 10\), nên điểm \(x = 13\) không nằm trong miền giải. Do đó, ta chỉ quan tâm đến đoạn từ \(y = \frac{26}{3}\) đến \(x = 10\). 4. Bất phương trình \(3x + y \geq 18\): - Ta vẽ đường thẳng \(3x + y = 18\). - Khi \(x = 0\), ta có \(y = 18\). - Khi \(y = 0\), ta có \(3x = 18 \Rightarrow x = 6\). Bây giờ, ta sẽ tìm giao của các miền này. Các điểm giao của các đường thẳng với các biên của miền \(0 \leq x \leq 10\) và \(0 \leq y \leq 12\) là: - Điểm giao của \(2x + 3y = 26\) và \(x = 10\): \(2(10) + 3y = 26 \Rightarrow 20 + 3y = 26 \Rightarrow 3y = 6 \Rightarrow y = 2\). Vậy điểm là \((10, 2)\). - Điểm giao của \(3x + y = 18\) và \(x = 6\): \(3(6) + y = 18 \Rightarrow 18 + y = 18 \Rightarrow y = 0\). Vậy điểm là \((6, 0)\). - Điểm giao của \(2x + 3y = 26\) và \(3x + y = 18\): - Nhân \(3x + y = 18\) với 3: \(9x + 3y = 54\). - Trừ \(2x + 3y = 26\) từ \(9x + 3y = 54\): \(7x = 28 \Rightarrow x = 4\). - Thay \(x = 4\) vào \(3x + y = 18\): \(3(4) + y = 18 \Rightarrow 12 + y = 18 \Rightarrow y = 6\). Vậy điểm là \((4, 6)\). Do đó, miền biểu diễn tập hợp nghiệm của hệ bất phương trình là một tam giác với các đỉnh là \((6, 0)\), \((10, 2)\), và \((4, 6)\). Diện tích của tam giác này là: \[ S = \frac{1}{2} \times \text{cạnh đáy} \times \text{chiều cao} \] - Cạnh đáy là đoạn từ \((6, 0)\) đến \((10, 2)\), dài \(10 - 6 = 4\). - Chiều cao là khoảng cách từ điểm \((4, 6)\) xuống cạnh đáy, tức là \(6 - 0 = 6\). \[ S = \frac{1}{2} \times 4 \times 6 = 12 \] Vậy \(S^2 = 12^2 = 144\). Đáp số: \(144\). Câu 6: Để tìm giá trị lớn nhất (M) và giá trị nhỏ nhất (m) của hàm số \( y = f(x) = -x^2 + 4x - 3 \) trên đoạn \([-2; 4]\), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm cực trị của hàm số: Hàm số \( y = -x^2 + 4x - 3 \) là một parabol mở xuống (vì hệ số của \( x^2 \) là âm). Ta tìm đỉnh của parabol này: \[ x = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2(-1)} = 2 \] Thay \( x = 2 \) vào hàm số để tìm giá trị của \( y \): \[ y = -(2)^2 + 4(2) - 3 = -4 + 8 - 3 = 1 \] Vậy đỉnh của parabol là \( (2, 1) \). 2. Kiểm tra giá trị của hàm số tại các điểm biên của đoạn \([-2; 4]\): - Tại \( x = -2 \): \[ y = -(-2)^2 + 4(-2) - 3 = -4 - 8 - 3 = -15 \] - Tại \( x = 4 \): \[ y = -(4)^2 + 4(4) - 3 = -16 + 16 - 3 = -3 \] 3. So sánh các giá trị đã tìm được: - Tại \( x = 2 \), \( y = 1 \) - Tại \( x = -2 \), \( y = -15 \) - Tại \( x = 4 \), \( y = -3 \) Từ đó, ta thấy giá trị lớn nhất \( M \) của hàm số trên đoạn \([-2; 4]\) là 1, và giá trị nhỏ nhất \( m \) là -15. 4. Tính \( M + 2m \): \[ M + 2m = 1 + 2(-15) = 1 - 30 = -29 \] Vậy giá trị của \( M + 2m \) là \(\boxed{-29}\). Câu 7: Để tính cường độ hợp lực tác động lên chất điểm, chúng ta cần tìm tổng của các vectơ lực $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$, và $\overrightarrow{c}$. 1. Tìm thành phần của các vectơ lực: - Lực $\overrightarrow{a}$ cùng hướng với $\overrightarrow{AB}$, do đó thành phần của nó theo chiều AB là 10 N và thành phần theo chiều AD là 0 N. - Lực $\overrightarrow{b}$ cùng hướng với $\overrightarrow{AC}$, do đó thành phần của nó theo chiều AB và AD đều là $\frac{10}{\sqrt{2}} = 5\sqrt{2}$ N. - Lực $\overrightarrow{c}$ cùng hướng với $\overrightarrow{AD}$, do đó thành phần của nó theo chiều AD là 15 N và thành phần theo chiều AB là 0 N. 2. Tính tổng thành phần của các vectơ lực: - Thành phần theo chiều AB: \[ F_{AB} = 10 + 5\sqrt{2} + 0 = 10 + 5\sqrt{2} \] - Thành phần theo chiều AD: \[ F_{AD} = 0 + 5\sqrt{2} + 15 = 15 + 5\sqrt{2} \] 3. Tính cường độ hợp lực: - Cường độ hợp lực $F$ là: \[ F = \sqrt{(F_{AB})^2 + (F_{AD})^2} \] Thay các giá trị đã tính: \[ F = \sqrt{(10 + 5\sqrt{2})^2 + (15 + 5\sqrt{2})^2} \] Ta thực hiện phép nhân và cộng: \[ (10 + 5\sqrt{2})^2 = 100 + 100\sqrt{2} + 50 = 150 + 100\sqrt{2} \] \[ (15 + 5\sqrt{2})^2 = 225 + 150\sqrt{2} + 50 = 275 + 150\sqrt{2} \] Cộng lại: \[ F = \sqrt{(150 + 100\sqrt{2}) + (275 + 150\sqrt{2})} = \sqrt{425 + 250\sqrt{2}} \] Ta làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất: \[ F \approx \sqrt{425 + 353.55} = \sqrt{778.55} \approx 28.0 \] Vậy cường độ hợp lực tác động lên chất điểm là khoảng 28.0 N. Câu 8: Trước tiên, ta xác định tọa độ của các điểm trên parabol. Điểm đỉnh của parabol là gốc tọa độ O(0,0). Điểm A và B nằm trên trục hoành và có tọa độ lần lượt là A(-2,0) và B(2,0). Chiều cao của ăng-ten chảo là h = 0,5 m, do đó điểm C nằm trên trục tung và có tọa độ C(0,0,5). Phương trình của parabol dạng y = ax^2 đi qua điểm C(0,0,5). Thay tọa độ của điểm C vào phương trình, ta có: \[ 0,5 = a \cdot 0^2 \] \[ 0,5 = a \cdot 0 \] Do đó, ta thấy rằng phương trình này không cung cấp thông tin về giá trị của a. Ta cần sử dụng thêm thông tin từ các điểm khác trên parabol. Ta biết rằng parabol đi qua điểm A(-2,0) và B(2,0). Thay tọa độ của điểm A vào phương trình y = ax^2, ta có: \[ 0 = a \cdot (-2)^2 \] \[ 0 = a \cdot 4 \] \[ a = 0 \] Tuy nhiên, điều này không đúng vì parabol không thể là đường thẳng. Do đó, ta cần sử dụng điểm C(0,0,5) để xác định giá trị của a. Thay tọa độ của điểm C vào phương trình y = ax^2, ta có: Điều này không cung cấp thông tin về giá trị của a. Ta cần sử dụng thêm thông tin từ các điểm khác trên parabol. Dựa vào các bước biến đổi đã thực hiện sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về cách giải quyết bài toán. Từ đây, bạn có thể tiếp tục để tìm ra lời giải chính xác. Câu 9: Để biết quả bóng có vượt qua được hàng rào và có đưa được bóng vào phạm vi của khung thành hay không, chúng ta cần kiểm tra độ cao của quả bóng ở hai vị trí: vị trí cách 9,5 m (vị trí hàng rào) và vị trí cách khung thành (vị trí cuối cùng của quỹ đạo). 1. Kiểm tra độ cao của quả bóng ở vị trí cách 9,5 m: - Thay \( x = 9,5 \) vào phương trình \( h(x) = -0,0073x^2 + 0,1x + 2,7 \): \[ h(9,5) = -0,0073 \times (9,5)^2 + 0,1 \times 9,5 + 2,7 \] \[ h(9,5) = -0,0073 \times 90,25 + 0,95 + 2,7 \] \[ h(9,5) = -0,658775 + 0,95 + 2,7 \] \[ h(9,5) = 3,0 - 0,658775 \] \[ h(9,5) \approx 2,341225 \text{ m} \] Độ cao của quả bóng ở vị trí cách 9,5 m là khoảng 2,34 m. Vì cầu thủ của đội bạn chỉ nhảy cao được tối đa 2 m, nên quả bóng đã vượt qua được hàng rào. 2. Kiểm tra độ cao của quả bóng khi vào phạm vi của khung thành: - Để biết quả bóng có vào phạm vi của khung thành hay không, chúng ta cần biết độ cao của quả bóng khi nó đến gần khung thành. Chúng ta sẽ kiểm tra độ cao của quả bóng ở một khoảng cách lớn hơn 9,5 m, ví dụ ở \( x = 15 \) m: \[ h(15) = -0,0073 \times (15)^2 + 0,1 \times 15 + 2,7 \] \[ h(15) = -0,0073 \times 225 + 1,5 + 2,7 \] \[ h(15) = -1,6425 + 1,5 + 2,7 \] \[ h(15) = 2,5575 \text{ m} \] Độ cao của quả bóng ở vị trí cách 15 m là khoảng 2,56 m. Vì khung thành có chiều cao 2,4 m, nên quả bóng đã vào phạm vi của khung thành. Kết luận: - Quả bóng đã vượt qua được hàng rào vì độ cao của quả bóng ở vị trí cách 9,5 m là khoảng 2,34 m, lớn hơn độ cao mà cầu thủ của đội bạn có thể nhảy (2 m). - Quả bóng đã vào phạm vi của khung thành vì độ cao của quả bóng ở vị trí cách 15 m là khoảng 2,56 m, lớn hơn chiều cao của khung thành (2,4 m). Do đó, cầu thủ đá phạt đã đưa được bóng vào phạm vi của khung thành.