câu 9 và 10

Bài 9. a) Ta có: \(MA\) và \(MC\) là các tiếp tuyến của đường tròn (O) nên \(MA = MC\) Do đó, tam giác \(MAC\) là tam giác cân tại \(M\) Ta có: \(OA = OC\) (vì cùng là bán kính của đường tròn (O)) Do đó, tam giác \(OAC\) là tam giác cân tại \(O\) Từ đó ta có: \(\widehat{MAC} = \widehat{MCA}\) và \(\widehat{OAC} = \widehat{OCA}\) Suy ra: \(\widehat{OAM} = \widehat{OCM}\) Vậy bốn điểm \(A, M, C, O\) cùng thuộc một đường tròn. b) Ta có: \(BC\) là dây cung của đường tròn (O) và \(ON \perp BC\) nên \(ON\) là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác \(BOC\) Suy ra: \(\widehat{OBN} = 90^\circ\) Vậy \(NB\) là tiếp tuyến của đường tròn (O). Bài 10. a) Ta có: - $\angle ADB = 90^\circ$ (vì BD là đường cao hạ từ đỉnh B) - $\angle AEB = 90^\circ$ (vì CE là đường cao hạ từ đỉnh C) Do đó, bốn điểm A, D, H, E cùng nằm trên đường tròn đường kính AH (vì cả hai góc $\angle ADB$ và $\angle AEB$ đều là góc vuông). b) Ta cần chứng minh rằng MD là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AH. - Vì M là trung điểm của BC, nên BM = MC. - Xét tam giác BMD và CMD: - BM = MC (M là trung điểm của BC) - BD = CD (vì BD và CD là đường cao hạ từ đỉnh B và C) - MD chung Do đó, tam giác BMD và CMD bằng nhau (cạnh huyền - cạnh góc vuông). - Từ đó, ta có $\angle BDM = \angle CDM$. Ta cũng biết rằng: - $\angle AHD = 90^\circ$ (vì H là trực tâm của tam giác ABC, và AH là đường kính của đường tròn ngoại tiếp bốn điểm A, D, H, E). Do đó, $\angle AHD + \angle BDM = 90^\circ + \angle BDM = 90^\circ$. Vậy MD là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AH. Đáp số: MD là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AH.