Giúp mình với!

Câu 13: a) Xác định hệ số góc k của đồ thị hàm số $y=2x-2:$ Hệ số góc của đồ thị hàm số $y=2x-2$ là $k=2$. b) Vẽ đồ thị (d) của hàm số đã cho. Để vẽ đồ thị của hàm số $y=2x-2$, ta chọn hai điểm trên đường thẳng: - Khi $x=0$, ta có $y=2\times 0-2=-2$. Vậy ta có điểm $(0,-2)$. - Khi $x=1$, ta có $y=2\times 1-2=0$. Vậy ta có điểm $(1,0)$. Vẽ hai điểm này trên hệ trục tọa độ và nối chúng lại với nhau ta được đồ thị (d) của hàm số $y=2x-2$. c) Xác định m để đồ thị hàm số $y=(3-2m)x+m$ song song với (d)? Đồ thị hàm số $y=(3-2m)x+m$ song song với (d) khi và chỉ khi hệ số góc của nó bằng hệ số góc của (d). Hệ số góc của (d) là $k=2$. Do đó, ta có: $3-2m=2$ Giải phương trình này: $3-2m=2$ $-2m=2-3$ $-2m=-1$ $m=\frac{-1}{-2}=\frac{1}{2}$ Vậy $m=\frac{1}{2}$ để đồ thị hàm số $y=(3-2m)x+m$ song song với (d). Câu 14: a) Điều kiện xác định của D: - Các mẫu số của các phân thức trong biểu thức D phải khác 0. - \(x + 4 \neq 0\) suy ra \(x \neq -4\) - \(x - 4 \neq 0\) suy ra \(x \neq 4\) - \(x^2 - 16 \neq 0\) suy ra \((x - 4)(x + 4) \neq 0\) suy ra \(x \neq 4\) và \(x \neq -4\) Vậy điều kiện xác định của D là \(x \neq -4\) và \(x \neq 4\). b) Rút gọn D: \[D = \frac{1}{x+4} + \frac{x}{x-4} + \frac{24 - x^2}{x^2 - 16}\] Ta nhận thấy \(x^2 - 16 = (x - 4)(x + 4)\), do đó: \[D = \frac{1}{x+4} + \frac{x}{x-4} + \frac{24 - x^2}{(x - 4)(x + 4)}\] Quy đồng mẫu số ba phân thức: \[D = \frac{(x - 4) + x(x + 4) + (24 - x^2)}{(x - 4)(x + 4)}\] Rút gọn tử số: \[D = \frac{x - 4 + x^2 + 4x + 24 - x^2}{(x - 4)(x + 4)}\] \[D = \frac{5x + 20}{(x - 4)(x + 4)}\] \[D = \frac{5(x + 4)}{(x - 4)(x + 4)}\] Rút gọn phân thức: \[D = \frac{5}{x - 4}\] c) Tìm các số nguyên x để giá trị của biểu thức D là số nguyên: \[D = \frac{5}{x - 4}\] Để D là số nguyên, \(x - 4\) phải là ước của 5. Các ước của 5 là \(\pm 1\) và \(\pm 5\). Do đó: - \(x - 4 = 1\) suy ra \(x = 5\) - \(x - 4 = -1\) suy ra \(x = 3\) - \(x - 4 = 5\) suy ra \(x = 9\) - \(x - 4 = -5\) suy ra \(x = -1\) Vậy các số nguyên x để giá trị của biểu thức D là số nguyên là \(x = 5, 3, 9, -1\). Câu 15: a) Ta có $\widehat{A} = \widehat{D} = 90^\circ$ và $AB = AD$. Do đó, tứ giác ABHD là hình vuông vì nó có ba góc vuông và hai cạnh kề bằng nhau. b) Gọi M là trung điểm của BH. Ta cần chứng minh A đối xứng với C qua M. - Vì ABHD là hình vuông nên $AH = HD$ và $\widehat{HAD} = 90^\circ$. - Ta có $BH = AD = AB$, do đó M là trung điểm của BH. - Xét tam giác ABM và tam giác CBM: - $BM$ chung. - $AB = BC$ (vì $AB = AD = \frac{1}{2}CD$ và $BC = \frac{1}{2}CD$). - $\widehat{ABM} = \widehat{CBM} = 45^\circ$ (vì $\widehat{ABH} = 90^\circ$ và M là trung điểm của BH). Do đó, tam giác ABM và tam giác CBM bằng nhau theo trường hợp cạnh - góc - cạnh. Vậy A và C đối xứng qua M. c) Kẻ DI vuông góc với AC, AH cắt DI tại P và Q. Ta cần chứng minh tứ giác DPBQ là hình thoi. - Ta có $\widehat{DIA} = 90^\circ$ và $\widehat{DHA} = 90^\circ$. - Xét tam giác DIA và tam giác DHA: - $DA$ chung. - $\widehat{DIA} = \widehat{DHA} = 90^\circ$. - $\widehat{IDA} = \widehat{HDA}$ (vì $\widehat{HAD} = 90^\circ$ và $\widehat{DIA} = 90^\circ$). Do đó, tam giác DIA và tam giác DHA bằng nhau theo trường hợp góc - cạnh - góc. Vậy $DI = DH$. - Ta có $DP = DQ$ (vì $DI = DH$ và P, Q là giao điểm của DI và AH). - Ta cũng có $BP = BQ$ (vì $BH = AD$ và M là trung điểm của BH). Vậy tứ giác DPBQ có các cạnh bằng nhau, do đó là hình thoi. Câu 16: Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( A = \frac{x^2 - 2x + 2023}{x^2} \) với \( x \neq 0 \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Rút gọn biểu thức \( A \): \[ A = \frac{x^2 - 2x + 2023}{x^2} = 1 - \frac{2}{x} + \frac{2023}{x^2} \] Bước 2: Xét biểu thức \( f(x) = 1 - \frac{2}{x} + \frac{2023}{x^2} \). Bước 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của \( f(x) \) bằng cách sử dụng phương pháp khảo sát hàm số hoặc bất đẳng thức. Ta thấy rằng \( f(x) \) là một hàm số bậc hai theo biến \( \frac{1}{x} \). Để tìm giá trị nhỏ nhất, ta có thể sử dụng phương pháp hoàn chỉnh bình phương. Bước 4: Viết lại biểu thức dưới dạng hoàn chỉnh bình phương: \[ f(x) = 1 - \frac{2}{x} + \frac{2023}{x^2} = 1 + \left( \frac{2023}{x^2} - \frac{2}{x} \right) \] Bước 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của \( \frac{2023}{x^2} - \frac{2}{x} \). Ta thấy rằng: \[ \frac{2023}{x^2} - \frac{2}{x} = \frac{2023 - 2x}{x^2} \] Để giá trị này nhỏ nhất, ta cần tìm giá trị của \( x \) sao cho \( \frac{2023 - 2x}{x^2} \) nhỏ nhất. Bước 6: Khảo sát hàm số \( g(t) = t^2 - 2t + 2023 \) với \( t = \frac{1}{x} \). Hàm số \( g(t) = t^2 - 2t + 2023 \) đạt giá trị nhỏ nhất khi \( t = 1 \). Do đó, \( \frac{1}{x} = 1 \) suy ra \( x = 1 \). Bước 7: Thay \( x = 1 \) vào biểu thức \( A \): \[ A = 1 - \frac{2}{1} + \frac{2023}{1^2} = 1 - 2 + 2023 = 2022 \] Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( A \) là 2022, đạt được khi \( x = 1 \). Đáp số: \( x = 1 \)