Tìm $x; y \in \mathbb{Z}$ biết rằng $(x+2)^2+2(y-3)^2<4$.

Để tìm \( x \) và \( y \) thuộc tập hợp số nguyên \( \mathbb{Z} \) sao cho \( (x+2)^2 + 2(y-3)^2 < 4 \), chúng ta sẽ phân tích từng trường hợp. 1. Xét \( (x+2)^2 \): - \( (x+2)^2 \) là bình phương của một số nguyên, do đó nó luôn lớn hơn hoặc bằng 0. - \( (x+2)^2 \) có thể nhận các giá trị 0, 1 hoặc 4 (vì \( (x+2)^2 < 4 \)). 2. Xét \( 2(y-3)^2 \): - \( 2(y-3)^2 \) cũng là một số lớn hơn hoặc bằng 0. - \( 2(y-3)^2 \) có thể nhận các giá trị 0, 2 (vì \( 2(y-3)^2 < 4 \)). Bây giờ, chúng ta sẽ xét từng trường hợp cụ thể: Trường hợp 1: \( (x+2)^2 = 0 \) - Điều này xảy ra khi \( x + 2 = 0 \), tức là \( x = -2 \). Sub-trường hợp 1.1: \( 2(y-3)^2 = 0 \) - Điều này xảy ra khi \( y - 3 = 0 \), tức là \( y = 3 \). Sub-trường hợp 1.2: \( 2(y-3)^2 = 2 \) - Điều này xảy ra khi \( (y-3)^2 = 1 \), tức là \( y - 3 = 1 \) hoặc \( y - 3 = -1 \). - Do đó, \( y = 4 \) hoặc \( y = 2 \). Trường hợp 2: \( (x+2)^2 = 1 \) - Điều này xảy ra khi \( x + 2 = 1 \) hoặc \( x + 2 = -1 \), tức là \( x = -1 \) hoặc \( x = -3 \). Sub-trường hợp 2.1: \( 2(y-3)^2 = 0 \) - Điều này xảy ra khi \( y - 3 = 0 \), tức là \( y = 3 \). Sub-trường hợp 2.2: \( 2(y-3)^2 = 2 \) - Điều này xảy ra khi \( (y-3)^2 = 1 \), tức là \( y - 3 = 1 \) hoặc \( y - 3 = -1 \). - Do đó, \( y = 4 \) hoặc \( y = 2 \). Trường hợp 3: \( (x+2)^2 = 4 \) - Điều này xảy ra khi \( x + 2 = 2 \) hoặc \( x + 2 = -2 \), tức là \( x = 0 \) hoặc \( x = -4 \). Sub-trường hợp 3.1: \( 2(y-3)^2 = 0 \) - Điều này xảy ra khi \( y - 3 = 0 \), tức là \( y = 3 \). Sub-trường hợp 3.2: \( 2(y-3)^2 = 2 \) - Điều này xảy ra khi \( (y-3)^2 = 1 \), tức là \( y - 3 = 1 \) hoặc \( y - 3 = -1 \). - Do đó, \( y = 4 \) hoặc \( y = 2 \). Tổng hợp các trường hợp: - \( (x, y) = (-2, 3) \) - \( (x, y) = (-2, 4) \) - \( (x, y) = (-2, 2) \) - \( (x, y) = (-1, 3) \) - \( (x, y) = (-1, 4) \) - \( (x, y) = (-1, 2) \) - \( (x, y) = (-3, 3) \) - \( (x, y) = (-3, 4) \) - \( (x, y) = (-3, 2) \) - \( (x, y) = (0, 3) \) - \( (x, y) = (0, 4) \) - \( (x, y) = (0, 2) \) - \( (x, y) = (-4, 3) \) - \( (x, y) = (-4, 4) \) - \( (x, y) = (-4, 2) \) Vậy các cặp số nguyên \( (x, y) \) thỏa mãn điều kiện \( (x+2)^2 + 2(y-3)^2 < 4 \) là: \[ (-2, 3), (-2, 4), (-2, 2), (-1, 3), (-1, 4), (-1, 2), (-3, 3), (-3, 4), (-3, 2), (0, 3), (0, 4), (0, 2), (-4, 3), (-4, 4), (-4, 2) \]