Hãy Chứng tỏ

Để chứng tỏ rằng $\frac{a^2 + a + 1}{a^2 + 1} \leq \frac{3}{2}$ với mọi giá trị của $a$, ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Nhân cả hai vế của bất đẳng thức với $2(a^2 + 1)$ để loại bỏ mẫu số: \[ 2 \cdot \frac{a^2 + a + 1}{a^2 + 1} \leq 2 \cdot \frac{3}{2} \] \[ 2(a^2 + a + 1) \leq 3(a^2 + 1) \] Bước 2: Mở ngoặc và sắp xếp các hạng tử: \[ 2a^2 + 2a + 2 \leq 3a^2 + 3 \] Bước 3: Chuyển tất cả các hạng tử sang một vế để tạo thành một bất đẳng thức thuần nhất: \[ 2a^2 + 2a + 2 - 3a^2 - 3 \leq 0 \] \[ -a^2 + 2a - 1 \leq 0 \] Bước 4: Nhân cả hai vế với -1 để chuyển đổi bất đẳng thức (nhớ đảo chiều bất đẳng thức): \[ a^2 - 2a + 1 \geq 0 \] Bước 5: Nhận thấy rằng $a^2 - 2a + 1$ là một hằng đẳng thức: \[ a^2 - 2a + 1 = (a - 1)^2 \] Bước 6: Vì $(a - 1)^2$ luôn luôn lớn hơn hoặc bằng 0 với mọi giá trị của $a$, ta có: \[ (a - 1)^2 \geq 0 \] Do đó, ta đã chứng tỏ được rằng $\frac{a^2 + a + 1}{a^2 + 1} \leq \frac{3}{2}$ với mọi giá trị của $a$.