Câu 31. [VDT] Tìm tính chất của đa giác tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng với các mặt hình chóp. Biết qua điểm cho trước và song song với mặt phẳng nào đó của hình chóp (không cho hình vẽ). Câu 31.1...

Câu 31. Để tìm tính chất của đa giác tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng với các mặt của hình chóp, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định mặt phẳng cắt: - Gọi $$ là mặt phẳng đi qua điểm cho trước và song song với một mặt phẳng của hình chóp (gọi là mặt phẳng $$). - Mặt phẳng $$ sẽ cắt các mặt của hình chóp theo các đường thẳng. 2. Tính chất của các giao tuyến: - Vì $$ song song với $$, nên các giao tuyến của $$ với các mặt của hình chóp sẽ song song với các giao tuyến tương ứng của $$ với các mặt của hình chóp. 3. Số lượng đỉnh và cạnh của đa giác: - Số lượng đỉnh của đa giác tạo ra bằng số lượng giao tuyến của $$ với các mặt của hình chóp. - Số lượng cạnh của đa giác cũng bằng số lượng giao tuyến này. 4. Kiểu đa giác: - Nếu hình chóp là hình chóp đều (các mặt đáy là đa giác đều), thì đa giác tạo ra cũng sẽ là đa giác đều. - Nếu hình chóp không đều, đa giác tạo ra có thể là đa giác lồi hoặc không đều tùy thuộc vào vị trí của các giao tuyến. 5. Diện tích và chu vi: - Diện tích và chu vi của đa giác tạo ra phụ thuộc vào khoảng cách từ tâm của hình chóp đến mặt phẳng $$ và kích thước của các giao tuyến. Kết luận: - Đa giác tạo ra bởi các giao tuyến của mặt phẳng $$ với các mặt của hình chóp sẽ có số lượng đỉnh và cạnh bằng số lượng giao tuyến của $$ với các mặt của hình chóp. - Các giao tuyến này song song với các giao tuyến tương ứng của mặt phẳng $$ với các mặt của hình chóp. - Kiểu đa giác tạo ra phụ thuộc vào hình chóp ban đầu và vị trí của mặt phẳng $$. Đó là các tính chất cơ bản của đa giác tạo ra khi cắt hình chóp bằng một mặt phẳng song song với một mặt phẳng khác của hình chóp. Câu 31.1. Trước tiên, ta nhận thấy rằng tứ diện có tất cả các cạnh đều bằng nhau là một tứ diện đều. Gọi các đỉnh của tứ diện đều này là $$. - $$ là trung điểm của đoạn $$. - $$ là điểm nằm trên đoạn $$ (khác $$ và $$). - Mặt phẳng $$ đi qua $$ và $$ và song song với mặt phẳng $$. Khi mặt phẳng $$ song song với mặt phẳng $$, nó sẽ cắt các mặt của tứ diện theo các đường thẳng song song với các cạnh của $$. Cụ thể: - Mặt phẳng $$ cắt $$ tại $$ sao cho $$. - Mặt phẳng $$ cắt $$ tại $$ sao cho $$. - Mặt phẳng $$ cắt $$ tại $$ sao cho $$. Do đó, các giao tuyến của mặt phẳng $$ với các mặt của tứ diện tạo thành một đa giác gồm các đoạn thẳng $$. Ta thấy rằng: - $$ - $$ - $$ Vì $$ là trung điểm của $$, nên $$ và $$ sẽ chia đôi các cạnh $$ và $$ tương ứng. Do đó, $$ và $$ cũng là trung điểm của $$ và $$ tương ứng. Từ đó, ta có: - $$ - $$ - $$ Vì $$ (do tứ diện đều), nên $$. Do đó, đa giác tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng $$ với các mặt của tứ diện là một tam giác đều. Đáp án đúng là: B. Một tam giác đều. Câu 31.2. Trước tiên, ta xác định vị trí của các điểm và mặt phẳng. - Tứ diện đều có các đỉnh là $$. - $$ là trung điểm của đoạn $$. - $$ là điểm di động trên đoạn $$. Qua $$ và $$, ta vẽ mặt phẳng $$ song song với $$. Mặt phẳng này sẽ cắt các mặt của tứ diện theo các giao tuyến tạo thành một đa giác. Ta xét các giao tuyến: 1. Mặt phẳng $$ cắt $$ tại $$. 2. Mặt phẳng $$ cắt $$ tại $$. 3. Mặt phẳng $$ cắt $$ tại $$. 4. Mặt phẳng $$ cắt $$ tại $$. Do $$ song song với $$, nên các giao tuyến $$, $$, $$, và $$ sẽ tạo thành một hình thang cân $$. Bây giờ, ta tính chu vi của hình thang cân $$: - Vì $$ là trung điểm của $$, nên $$. - Mặt phẳng $$ song song với $$, do đó các đoạn thẳng $$ và $$ sẽ bằng nhau và bằng $$. - Các đoạn thẳng $$ và $$ cũng sẽ bằng nhau và bằng $$. Chu vi của hình thang cân $$ là: $$ Vậy, đáp án đúng là: D. $$ Đáp số: $$ Câu 31.3. Trước tiên, ta xét hình vuông $$ và tam giác đều $$ nằm trong hai mặt phẳng khác nhau. Gọi $$ là điểm di động trên đoạn $$. Qua $$, ta vẽ mặt phẳng song song với $$. Khi mặt phẳng này cắt các mặt của hình chóp, ta sẽ có các giao tuyến tạo thành đa giác. Ta sẽ kiểm tra từng trường hợp: 1. Mặt phẳng này cắt cạnh $$ tại điểm $$, cắt cạnh $$ tại điểm $$, cắt cạnh $$ tại điểm $$, và cắt cạnh $$ tại điểm $$. 2. Vì mặt phẳng này song song với mặt phẳng của hình vuông $$, nên các giao tuyến $$, $$, $$, và $$ sẽ song song với các cạnh tương ứng của hình vuông $$. 3. Do đó, các đoạn thẳng $$, $$, $$, và $$ sẽ tạo thành một hình vuông vì chúng song song và bằng nhau với các cạnh của hình vuông $$. Vậy đa giác tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng với các mặt của hình chóp là hình vuông. Đáp án đúng là: D. Hình vuông. Câu 31.4. Trước tiên, ta cần hiểu rằng khi mặt phẳng di động song song với đáy và đi qua điểm thuộc đoạn, nó sẽ cắt các cạnh của hình chóp theo tỷ lệ giống nhau. Do đó, ta có thể suy ra rằng các đoạn thẳng trên các cạnh của hình chóp sẽ có cùng tỷ lệ với đoạn thẳng từ đỉnh đến điểm trên cạnh đáy. Giả sử tam giác đều có cạnh là $$. Vì $$ nằm trên $$ và $$, nên các đoạn thẳng từ đỉnh $$ đến các điểm trên các cạnh $$, $$, và $$ cũng sẽ có cùng tỷ lệ này. Khi mặt phẳng song song với đáy và đi qua $$, nó sẽ cắt các cạnh $$, $$, và $$ tại các điểm $$, $$, và $$ tương ứng, sao cho $$, $$, và $$. Bây giờ, ta cần tính diện tích đa giác tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng với các mặt của hình chóp. Vì tam giác đều có cạnh $$, diện tích tam giác đều là: $$ Khi mặt phẳng cắt các cạnh theo tỷ lệ $$, diện tích của tam giác nhỏ hơn sẽ là: $$ Diện tích đa giác tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng với các mặt của hình chóp sẽ là diện tích tam giác lớn trừ đi diện tích tam giác nhỏ: $$ Vậy đáp án đúng là: $$ Câu 32. Phép chiếu song song là phép biến đổi trong đó mỗi điểm trên một đường thẳng cố định (gọi là trục chiếu) được chiếu lên một điểm trên một đường thẳng song song với trục chiếu. Để xác định ảnh của một điểm qua phép chiếu song song, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định trục chiếu: - Gọi trục chiếu là đường thẳng $$. 2. Xác định đường thẳng song song với trục chiếu: - Gọi đường thẳng song song với trục chiếu $$ là đường thẳng $$. 3. Xác định điểm cần chiếu: - Gọi điểm cần chiếu là $$. 4. Vẽ đường thẳng đi qua điểm $$ và vuông góc với trục chiếu $$: - Gọi giao điểm của đường thẳng này với trục chiếu $$ là $$. 5. Vẽ đường thẳng đi qua điểm $$ và song song với đường thẳng $$: - Gọi giao điểm của đường thẳng này với đường thẳng $$ là $$. 6. Kết luận: - Điểm $$ là ảnh của điểm $$ qua phép chiếu song song. Bằng cách vận dụng tính chất của phép chiếu song song, ta đã xác định được ảnh của điểm $$ qua phép chiếu song song là điểm $$. Câu 32.1. Trước tiên, ta cần hiểu rằng phép chiếu song song là phép chiếu trong đó các đường thẳng song song với đường thẳng chiếu sẽ không thay đổi vị trí, còn các đường thẳng khác sẽ bị chiếu lên mặt phẳng chiếu theo hướng song song với đường thẳng chiếu. Trong bài toán này, ta có lăng trụ $$ và các điểm $$ lần lượt là trung điểm của $$ và $$. Ta cần xác định mặt phẳng nào sẽ là hình chiếu của mặt phẳng $$ qua phép chiếu song song với đường thẳng $$. Bước 1: Xác định các đường thẳng song song với $$: - Các đường thẳng $$ đều song song với nhau. Bước 2: Xác định các điểm trên mặt phẳng $$: - Điểm $$ nằm trên mặt phẳng $$. - Điểm $$ là trung điểm của $$, do đó nằm trên mặt phẳng $$. - Điểm $$ là trung điểm của $$, do đó nằm trên mặt phẳng $$. Bước 3: Xác định hình chiếu của các điểm: - Điểm $$ nằm trên mặt phẳng $$, do đó không thay đổi vị trí khi chiếu song song với $$. - Điểm $$ nằm trên mặt phẳng $$, do đó không thay đổi vị trí khi chiếu song song với $$. - Điểm $$ nằm trên mặt phẳng $$, do đó không thay đổi vị trí khi chiếu song song với $$. Bước 4: Xác định hình chiếu của mặt phẳng $$: - Mặt phẳng $$ sẽ được chiếu lên mặt phẳng $$, trong đó $$ là hình chiếu của $$ trên mặt phẳng $$. Từ các bước trên, ta thấy rằng mặt phẳng $$ sẽ được chiếu lên mặt phẳng $$, trong đó $$ là hình chiếu của $$ trên mặt phẳng $$. Do đó, mặt phẳng chiếu của $$ sẽ là mặt phẳng $$. Vậy đáp án đúng là: D. $$ Đáp án: D. $$ Câu 32.2. Trước tiên, ta cần hiểu rằng hình chiếu song song của một điểm theo phương nào đó lên một mặt phẳng là điểm nằm trên đường thẳng song song với phương đó đi qua điểm ban đầu và cắt mặt phẳng đó. Giả sử hình chóp có đáy là hình bình hành ABCD, đỉnh S. Ta cần tìm hình chiếu song song của điểm S theo phương SA lên mặt phẳng (ABCD). 1. Vì SA là phương chiếu, nên hình chiếu của S sẽ nằm trên đường thẳng song song với SA và cắt mặt phẳng (ABCD). Đường thẳng này sẽ đi qua điểm A (vì SA đi qua A). 2. Mặt khác, vì đáy là hình bình hành ABCD, nên tâm O của hình bình hành này cũng là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Điểm O là trung điểm của cả AC và BD. 3. Do SA song song với mặt phẳng (ABCD), nên hình chiếu của S theo phương SA lên mặt phẳng (ABCD) sẽ là điểm A. Vậy hình chiếu song song của điểm S theo phương SA lên mặt phẳng (ABCD) là điểm A. Đáp án đúng là: A. A. Câu 32.3. Trước tiên, ta cần hiểu rằng hình chiếu song song của một điểm theo phương lên mặt phẳng là điểm mà đường thẳng đi qua điểm đó và song song với phương cắt mặt phẳng tại điểm đó. Giả sử ta có hình chóp $$ với đáy là hình bình hành $$. Ta cần tìm hình chiếu song song của đỉnh chóp $$ theo phương $$ lên mặt phẳng $$. 1. Xác định phương song song: Phương song song với $$ là đường thẳng đi qua $$ và song song với $$. 2. Tìm giao điểm: Đường thẳng này sẽ cắt mặt phẳng $$ tại một điểm. Vì $$ là đường thẳng nằm trong mặt phẳng $$, nên đường thẳng song song với $$ và đi qua $$ sẽ cắt $$ tại một điểm nằm trên đường thẳng song song với $$ và nằm trong mặt phẳng $$. 3. Xác định điểm giao: Điểm giao này chính là hình chiếu song song của $$ theo phương $$ lên mặt phẳng $$. Do $$ là hình bình hành, ta có thể thấy rằng đường thẳng song song với $$ và đi qua $$ sẽ cắt $$ tại trung điểm của $$ (vì $$ song song với $$). Vậy hình chiếu song song của điểm $$ theo phương $$ lên mặt phẳng $$ là trung điểm của $$. Đáp án đúng là: B. Trung điểm của $$. Câu 32.4. Trước tiên, ta cần hiểu rằng hình chiếu song song của một điểm lên một đường thẳng theo phương chiếu là đường thẳng đi qua điểm đó và song song với phương chiếu, cắt đường thẳng đã cho tại một điểm nào đó. Giả sử ta có lăng trụ $$ với $$ là trung điểm của $$. Ta cần tìm hình chiếu song song của điểm $$ lên đường thẳng $$ theo phương chiếu là $$. Bước 1: Xác định phương chiếu. Phương chiếu là đường thẳng $$. Bước 2: Tìm đường thẳng đi qua điểm $$ và song song với phương chiếu $$. Đường thẳng này sẽ là đường thẳng đi qua $$ và song song với $$. Bước 3: Xác định giao điểm của đường thẳng này với đường thẳng $$. Do $$ là trung điểm của $$, và $$ là đường thẳng đi qua $$ và $$, thì đường thẳng đi qua $$ và song song với $$ sẽ cắt $$ tại trung điểm của $$. Vậy hình chiếu song song của điểm $$ lên đường thẳng $$ theo phương chiếu là $$ là trung điểm của $$. Đáp án đúng là: A. Trung điểm $$.