giúp em với ạ

Câu 10: Trước tiên, ta xác định giao tuyến của mặt phẳng (EFH) với mặt phẳng (ABCD). Ta thấy rằng: - Điểm E nằm trên cạnh AB của mặt phẳng (ABCD). - Điểm H nằm trên cạnh A'D' của mặt phẳng (A'B'C'D'), nhưng cũng nằm trên đường thẳng A'D' song song với AD. Do đó, giao tuyến của mặt phẳng (EFH) với mặt phẳng (ABCD) sẽ đi qua điểm E và song song với đường thẳng HD (vì HD song song với A'D'). Ta cần xác định đường thẳng HD song song với đường thẳng nào trong các đường thẳng đã cho. - Đường thẳng HD nằm trong mặt phẳng (ABCD) và song song với đường thẳng A'D'. - Đường thẳng A'D' song song với đường thẳng BC (vì A'D' và BC đều là các đường thẳng song song với đáy của hình hộp). Vậy, giao tuyến của mặt phẳng (EFH) với mặt phẳng (ABCD) song song với đường thẳng BC. Đáp án đúng là: B. BC. Câu 11: Để tìm giới hạn của biểu thức \( n^3 - 2023n + 2024 \) khi \( n \to \infty \), ta thực hiện các bước sau: 1. Xét giới hạn của mỗi thành phần trong biểu thức: - \( \lim_{n \to \infty} n^3 = \infty \) - \( \lim_{n \to \infty} 2023n = \infty \) - \( \lim_{n \to \infty} 2024 = 2024 \) 2. Ta thấy rằng \( n^3 \) tăng nhanh hơn nhiều so với \( 2023n \) và hằng số 2024 khi \( n \) tiến đến vô cùng. Do đó, phần \( n^3 \) sẽ chi phối toàn bộ giới hạn của biểu thức. 3. Kết luận: \[ \lim_{n \to \infty} (n^3 - 2023n + 2024) = \infty \] Vậy đáp án đúng là: D. \( +\infty \). Câu 12: Để kiểm tra tính liên tục của hàm số $f(x)$ tại điểm $x = 1$, ta cần kiểm tra ba điều kiện sau: 1. $f(1)$ tồn tại. 2. $\lim_{x \to 1} f(x)$ tồn tại. 3. $\lim_{x \to 1} f(x) = f(1)$. Bước 1: Kiểm tra $f(1)$ tồn tại. Theo định nghĩa của hàm số, $f(1) = 5$. Vậy $f(1)$ tồn tại. Bước 2: Tính $\lim_{x \to 1} f(x)$. Khi $x \neq 1$, ta có: \[ f(x) = \frac{2x^2 - 2x}{x - 1} \] Ta rút gọn phân thức: \[ f(x) = \frac{2x(x - 1)}{x - 1} = 2x \quad \text{khi} \quad x \neq 1 \] Do đó: \[ \lim_{x \to 1} f(x) = \lim_{x \to 1} 2x = 2 \cdot 1 = 2 \] Bước 3: So sánh $\lim_{x \to 1} f(x)$ và $f(1)$. Ta có: \[ \lim_{x \to 1} f(x) = 2 \] \[ f(1) = 5 \] Vì $\lim_{x \to 1} f(x) \neq f(1)$, nên hàm số $f(x)$ không liên tục tại điểm $x = 1$. Bây giờ, ta kiểm tra tính liên tục của hàm số trên các khoảng khác: - Khi $x \neq 1$, hàm số $f(x) = 2x$ là hàm đa thức, do đó nó liên tục trên mọi khoảng không chứa điểm $x = 1$. Vậy hàm số $f(x)$ liên tục trên mỗi khoảng $(-\infty, 1)$ và $(1, +\infty)$. Đáp án đúng là: D. Trên mỗi khoảng $(-\infty, 1)$ và $(1, +\infty)$. Câu 1: a) Sai vì phương trình $\cos2x=m$ có nghiệm khi và chỉ khi $-1\leq m\leq1.$ b) Sai vì với $m=-1$ phương trình trở thành $\cos2x=-1.$ Suy ra $2x=\pi+ k2\pi,~(k\in\mathbb{Z}).$ Vậy phương trình có nghiệm $x=\frac{\pi}2+k\pi,~(k\in\mathbb{Z}).$ c) Đúng vì với $m=0$ phương trình trở thành $\cos2x=0.$ Suy ra $2x=\frac{\pi}2+k\pi,~(k\in\mathbb{Z}).$ Vậy phương trình có nghiệm $x=\frac{\pi}4+\frac{k\pi}2,~(k\in\mathbb{Z}).$ Nghiệm âm lớn nhất là $x=\frac{-\pi}4.$ d) Đúng vì với $m=-\frac12$ phương trình trở thành $\cos2x=-\frac12.$ Suy ra $2x=\frac{2\pi}3+k2\pi,~(k\in\mathbb{Z})$ hoặc $2x=\frac{4\pi}3+k2\pi,~(k\in\mathbb{Z}).$ Vậy phương trình có nghiệm $x=\frac{\pi}3+k\pi,~(k\in\mathbb{Z})$ hoặc $x=\frac{2\pi}3+k\pi,~(k\in\mathbb{Z}).$ Phương trình có 2 nghiệm thuộc khoảng $(0;\pi)$ là $x=\frac{\pi}3$ và $x=\frac{2\pi}3.$ Câu 2: a) Đúng vì $\lim_{x\rightarrow3}f(x)=\lim_{x\rightarrow3}\sqrt{x+7}=5.$ b) Sai vì $\lim_{x\rightarrow2^-}f(x)=\lim_{x\rightarrow2^-}(x^2-1+2m)=3+2m.$ c) Đúng vì $\lim_{x\rightarrow2^+}f(x)=\lim_{x\rightarrow2^+}\sqrt{x+7}=3.$ d) Đúng vì $\lim_{x\rightarrow2^-}f(x)=\lim_{x\rightarrow2^-}(x^2-1+2m)=3+2m.$ $\lim_{x\rightarrow2^+}f(x)=\lim_{x\rightarrow2^+}\sqrt{x+7}=3.$ Hai giới hạn trên bằng nhau khi $3+2m=3$ hay $m=0.$ Câu 3: Để giải quyết các khẳng định trên, ta sẽ sử dụng tính chất của hình bình hành và các đường thẳng song song trong hình học. Khẳng định a) $(EFM) // (ABC)$ - Vì E, F, M lần lượt là trung điểm của SB, SC, SA nên theo định lý trung tuyến trong tam giác, ta có: - EF // BC (vì E và F là trung điểm của SB và SC) - EM // AB (vì E và M là trung điểm của SB và SA) Do đó, mặt phẳng $(EFM)$ chứa hai đường thẳng EF và EM, mỗi đường thẳng này song song với một đường thẳng trong mặt phẳng $(ABC)$. Theo tính chất của hai mặt phẳng song song, ta suy ra $(EFM) // (ABC)$. Kết luận: Đúng. Khẳng định b) $(EMN) // (SCD)$ - Vì E, M, N lần lượt là trung điểm của SB, SA, SD nên theo định lý trung tuyến trong tam giác, ta có: - EN // BD (vì E và N là trung điểm của SB và SD) - EM // AB (vì E và M là trung điểm của SB và SA) Do đó, mặt phẳng $(EMN)$ chứa hai đường thẳng EN và EM, mỗi đường thẳng này song song với một đường thẳng trong mặt phẳng $(SCD)$. Theo tính chất của hai mặt phẳng song song, ta suy ra $(EMN) // (SCD)$. Kết luận: Đúng. Khẳng định c) $(OMN) // (SBC)$ - Vì O là tâm của hình bình hành ABCD, nên O là giao điểm của các đường chéo AC và BD, đồng thời O cũng là trung điểm của cả hai đường chéo này. - M, N lần lượt là trung điểm của SA và SD, do đó OM // SB (vì O là trung điểm của AC và M là trung điểm của SA) và ON // SD (vì O là trung điểm của BD và N là trung điểm của SD). Do đó, mặt phẳng $(OMN)$ chứa hai đường thẳng OM và ON, mỗi đường thẳng này song song với một đường thẳng trong mặt phẳng $(SBC)$. Theo tính chất của hai mặt phẳng song song, ta suy ra $(OMN) // (SBC)$. Kết luận: Đúng. Khẳng định d) Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của AB, ON. Ta có $PQ // (SBC)$. - P là trung điểm của AB, do đó P nằm trên đường thẳng AB. - Q là trung điểm của ON, do đó Q nằm trên đường thẳng ON. Ta cần kiểm tra xem PQ có song song với mặt phẳng $(SBC)$ hay không. Để làm điều này, ta cần xem xét các đường thẳng trong mặt phẳng $(SBC)$ và các đường thẳng liên quan đến P và Q. - Vì P là trung điểm của AB và Q là trung điểm của ON, ta có thể thấy rằng PQ không trực tiếp song song với bất kỳ đường thẳng nào trong mặt phẳng $(SBC)$. Do đó, ta không thể kết luận rằng PQ song song với mặt phẳng $(SBC)$. Kết luận: Sai. Tóm lại: - a) Đúng - b) Đúng - c) Đúng - d) Sai Câu 4: a) Đúng vì M đối xứng với B qua A nên MD // AC b) Sai vì ON nằm trong mặt phẳng (SBC) còn SA nằm trong mặt phẳng (SAB) mà hai mặt phẳng này cắt nhau theo đường thẳng SB nên ON và SA không thể cắt nhau. c) Đúng vì M đối xứng với B qua A nên MA = AB. Mặt khác, K là trung điểm của AD nên AK = KD. Từ đó suy ra MK // BD. Mà BD // AC nên MK // AC. Mặt khác, N là trung điểm của SC nên ON // SA. Từ đó suy ra (MKN) // (SAC). Mặt khác, G là giao điểm của đường thẳng MN với mặt phẳng (SAD) nên G thuộc (SAD). Do đó, G cũng thuộc mặt phẳng (MKN). Vậy GK // ON. d) Đúng vì G thuộc (MKN) và G thuộc (SAD) nên G thuộc đường thẳng KN. Mặt khác, N là trung điểm của SC nên GN = NC. Từ đó suy ra GM = 2NC. Vậy tỉ số $\frac{GM}{GN} = 2$.