Giải giúp em với

Câu 1. Để tìm giới hạn của dãy số \(u_n - v_n\), ta sử dụng tính chất của giới hạn dãy số. Cụ thể, nếu \(\lim u_n = A\) và \(\lim v_n = B\), thì \(\lim (u_n - v_n) = A - B\). Trong bài này, ta có: \[ \lim u_n = -3 \quad \text{và} \quad \lim v_n = 2 \] Áp dụng tính chất trên, ta có: \[ \lim (u_n - v_n) = \lim u_n - \lim v_n = -3 - 2 = -5 \] Vậy, \(\lim (u_n - v_n) = -5\). Đáp án đúng là: A. -5. Câu 2. Độ dài cung được tính bằng công thức: \[ I = r \cdot \theta \] trong đó \( r \) là bán kính và \( \theta \) là số đo góc tâm của cung (đơn vị radian). Ở đây, bán kính \( r = 6 \) và số đo góc tâm \( \theta = \frac{\pi}{8} \). Thay vào công thức, ta có: \[ I = 6 \cdot \frac{\pi}{8} = \frac{6\pi}{8} = \frac{3\pi}{4} \] Vậy đáp án đúng là: A. \( I = \frac{3\pi}{4} \) Đáp số: A. \( I = \frac{3\pi}{4} \) Câu 3. Để tính điểm trung bình của lớp 11A, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm trung điểm của mỗi khoảng điểm: - Khoảng [4;7): Trung điểm là $\frac{4 + 7}{2} = 5,5$ - Khoảng [7;9): Trung điểm là $\frac{7 + 9}{2} = 8$ - Khoảng [9;10]: Trung điểm là $\frac{9 + 10}{2} = 9,5$ 2. Nhân số lượng học sinh với trung điểm tương ứng của mỗi khoảng điểm: - Số học sinh có điểm trong khoảng [4;7): 21 học sinh \[ 21 \times 5,5 = 115,5 \] - Số học sinh có điểm trong khoảng [7;9): 15 học sinh \[ 15 \times 8 = 120 \] - Số học sinh có điểm trong khoảng [9;10]: 9 học sinh \[ 9 \times 9,5 = 85,5 \] 3. Tính tổng số điểm của tất cả học sinh: \[ 115,5 + 120 + 85,5 = 321 \] 4. Tính tổng số học sinh: \[ 21 + 15 + 9 = 45 \] 5. Tính điểm trung bình của lớp: \[ \text{Điểm trung bình} = \frac{\text{Tổng số điểm}}{\text{Tổng số học sinh}} = \frac{321}{45} \approx 7,13 \] Vậy điểm trung bình của lớp 11A là 7,13. Đáp án đúng là: D. 7,13 Câu 4. Để tìm tập xác định của hàm số \( y = \tan(2x) \), ta cần đảm bảo rằng biểu thức \( \tan(2x) \) có nghĩa. Biểu thức \( \tan(2x) \) không có nghĩa khi \( 2x = \frac{\pi}{2} + k\pi \) với \( k \in \mathbb{Z} \). Bước 1: Xác định điều kiện để \( \tan(2x) \) có nghĩa: \[ 2x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi \] Bước 2: Giải phương trình \( 2x = \frac{\pi}{2} + k\pi \): \[ x \neq \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2} \] Bước 3: Kết luận tập xác định của hàm số: \[ D = \mathbb{R} \setminus \left\{ \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2} \right\}, k \in \mathbb{Z} \] Vậy đáp án đúng là: A. \( \mathbb{R} \setminus \left\{ \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2} \right\}, k \in \mathbb{Z} \) Đáp án: A. \( \mathbb{R} \setminus \left\{ \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2} \right\}, k \in \mathbb{Z} \) Câu 5. Ta có công thức tổng quát của số hạng thứ n trong cấp số cộng là: \[ u_n = a_1 + (n-1)d \] Trong đó: - \( a_1 \) là số hạng đầu tiên, - \( d \) là khoảng cách giữa các số hạng liên tiếp, - \( n \) là số thứ tự của số hạng. Biết rằng \( a_1 = -5 \) và \( d = 2 \), ta cần tìm số hạng \( n \) sao cho \( u_n = 81 \). Thay vào công thức: \[ 81 = -5 + (n-1) \cdot 2 \] Giải phương trình này để tìm \( n \): \[ 81 = -5 + 2(n-1) \] \[ 81 = -5 + 2n - 2 \] \[ 81 = 2n - 7 \] \[ 81 + 7 = 2n \] \[ 88 = 2n \] \[ n = \frac{88}{2} \] \[ n = 44 \] Vậy số 81 là số hạng thứ 44 của cấp số cộng. Đáp án đúng là: C. 44. Câu 6. Để xác định được một mặt phẳng duy nhất, chúng ta cần xem xét từng trường hợp: A. Một điểm và một đường thẳng: - Một điểm và một đường thẳng không xác định được một mặt phẳng duy nhất vì có thể có nhiều mặt phẳng đi qua cả điểm đó và đường thẳng đó. B. Bốn điểm phân biệt: - Bốn điểm phân biệt không xác định được một mặt phẳng duy nhất nếu bốn điểm này không đồng phẳng (không nằm trên cùng một mặt phẳng). C. Hai đường thẳng cắt nhau: - Hai đường thẳng cắt nhau xác định được một mặt phẳng duy nhất vì hai đường thẳng cắt nhau luôn nằm trong cùng một mặt phẳng. D. Ba điểm phân biệt: - Ba điểm phân biệt xác định được một mặt phẳng duy nhất nếu ba điểm này không thẳng hàng (không nằm trên cùng một đường thẳng). Từ các lập luận trên, ta thấy rằng chỉ có hai trường hợp xác định được một mặt phẳng duy nhất là: - C. Hai đường thẳng cắt nhau. - D. Ba điểm phân biệt (không thẳng hàng). Vậy đáp án đúng là: C. Hai đường thẳng cắt nhau. D. Ba điểm phân biệt (không thẳng hàng). Câu 7. Trước tiên, ta xét mặt phẳng (P) đi qua điểm M và song song với đường thẳng AC. Vì M là trung điểm của AB nên ta có thể suy ra rằng mặt phẳng (P) sẽ chia đoạn thẳng AB thành hai phần bằng nhau. Mặt phẳng (P) cũng cắt đường thẳng BC tại điểm N. Do đó, ta có thể suy ra rằng đoạn thẳng MN nằm trong mặt phẳng (P). Bây giờ, ta xét các lựa chọn: - A. $MN // BD$: Điều này không đúng vì MN nằm trong mặt phẳng (P) và BD không nằm trong mặt phẳng (P). - B. $MN // BC$: Điều này không đúng vì MN nằm trong mặt phẳng (P) và BC không nằm trong mặt phẳng (P). - C. $MN // AC$: Điều này đúng vì mặt phẳng (P) song song với AC và MN nằm trong mặt phẳng (P). - D. $MN // CD$: Điều này không đúng vì MN nằm trong mặt phẳng (P) và CD không nằm trong mặt phẳng (P). Vậy khẳng định đúng là: C. $MN // AC$. Đáp án: C. $MN // AC$. Câu 8. Để tìm số hạng \( u_1 \) của dãy số \( (u_n) \), ta thay \( n = 1 \) vào công thức \( u_n = \frac{2n^2 - 1}{n^2 + 3} \). Bước 1: Thay \( n = 1 \) vào công thức: \[ u_1 = \frac{2(1)^2 - 1}{(1)^2 + 3} \] Bước 2: Tính toán ở tử số: \[ 2(1)^2 - 1 = 2 \cdot 1 - 1 = 2 - 1 = 1 \] Bước 3: Tính toán ở mẫu số: \[ (1)^2 + 3 = 1 + 3 = 4 \] Bước 4: Kết hợp kết quả từ bước 2 và bước 3: \[ u_1 = \frac{1}{4} \] Vậy số hạng \( u_1 \) là \( \frac{1}{4} \). Do đó, đáp án đúng là: D. \( u_1 = \frac{1}{4} \). Câu 9. Trước tiên, ta xác định vị trí của điểm M trên đoạn BC sao cho MB = 2MC. Điều này có nghĩa là M chia đoạn BC thành hai phần với tỉ lệ 2:1. G là trọng tâm của tam giác BCD, do đó G nằm ở giao điểm của các đường trung tuyến của tam giác BCD. Trọng tâm G chia mỗi đường trung tuyến thành tỉ lệ 2:1, với phần gần đỉnh gấp đôi phần gần cạnh đáy. Bây giờ, ta xét các lựa chọn: - A. MG song song (ABD) - B. MG song song (ACD) - C. MG song song (BCD) - D. MG song song (ACB) Ta sẽ kiểm tra từng trường hợp: 1. MG song song (ABD): - Để MG song song với mặt phẳng (ABD), thì MG phải song song với một đường thẳng nằm trong mặt phẳng (ABD). Tuy nhiên, vì G là trọng tâm của tam giác BCD và M nằm trên đoạn BC, nên MG không thể song song với bất kỳ đường thẳng nào trong mặt phẳng (ABD). 2. MG song song (ACD): - Tương tự như trên, để MG song song với mặt phẳng (ACD), thì MG phải song song với một đường thẳng nằm trong mặt phẳng (ACD). Tuy nhiên, vì G là trọng tâm của tam giác BCD và M nằm trên đoạn BC, nên MG không thể song song với bất kỳ đường thẳng nào trong mặt phẳng (ACD). 3. MG song song (BCD): - Vì G là trọng tâm của tam giác BCD và M nằm trên đoạn BC, nên MG nằm trong mặt phẳng (BCD). Do đó, MG không thể song song với mặt phẳng (BCD). 4. MG song song (ACB): - Để MG song song với mặt phẳng (ACB), thì MG phải song song với một đường thẳng nằm trong mặt phẳng (ACB). Ta thấy rằng, vì G là trọng tâm của tam giác BCD và M nằm trên đoạn BC, nên MG nằm trong mặt phẳng (BCD). Mặt khác, mặt phẳng (ACB) cũng chứa đoạn BC. Do đó, MG có thể song song với một đường thẳng nằm trong mặt phẳng (ACB). Vậy, khẳng định đúng là: D. MG song song (ACB). Đáp án: D. MG song song (ACB). Câu 10. Để tìm giới hạn của biểu thức $\frac{8n^2 - 2n^2 + 1}{4n^2 + 2n^2 + 1}$ khi $n$ tiến đến vô cùng, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Rút gọn biểu thức trong tử số và mẫu số: \[ \frac{8n^2 - 2n^2 + 1}{4n^2 + 2n^2 + 1} = \frac{6n^2 + 1}{6n^2 + 1} \] Bước 2: Chia cả tử số và mẫu số cho $n^2$: \[ \frac{6n^2 + 1}{6n^2 + 1} = \frac{6 + \frac{1}{n^2}}{6 + \frac{1}{n^2}} \] Bước 3: Tìm giới hạn của mỗi thành phần khi $n$ tiến đến vô cùng: \[ \lim_{n \to \infty} \left( \frac{6 + \frac{1}{n^2}}{6 + \frac{1}{n^2}} \right) \] Khi $n$ tiến đến vô cùng, $\frac{1}{n^2}$ tiến đến 0. Do đó: \[ \lim_{n \to \infty} \left( \frac{6 + \frac{1}{n^2}}{6 + \frac{1}{n^2}} \right) = \frac{6 + 0}{6 + 0} = \frac{6}{6} = 1 \] Vậy, giới hạn của biểu thức là: \[ \lim_{n \to \infty} \frac{8n^2 - 2n^2 + 1}{4n^2 + 2n^2 + 1} = 1 \] Đáp án đúng là: B. 1. Câu 11. Để tìm trung vị của mẫu số liệu, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định tổng số lượng dữ liệu: Tổng số ngày là 20 ngày. 2. Xác định vị trí của trung vị: Vì số lượng dữ liệu là 20 (số chẵn), trung vị sẽ là trung bình cộng của hai giá trị ở vị trí thứ 10 và 11. 3. Xác định khoảng chứa trung vị: - Khoảng [5; 7) có 2 ngày. - Khoảng [7; 9) có 7 ngày. - Khoảng [9; 11) có 7 ngày. - Khoảng [11; 13) có 3 ngày. - Khoảng [13; 15) có 1 ngày. Tính tổng số ngày từ đầu đến từng khoảng: - Từ [5; 7): 2 ngày. - Từ [5; 9): 2 + 7 = 9 ngày. - Từ [5; 11): 9 + 7 = 16 ngày. Như vậy, trung vị nằm trong khoảng từ ngày thứ 10 đến ngày thứ 11, tức là trong khoảng [9; 11). 4. Kết luận: Trung vị của mẫu số liệu trên thuộc khoảng [9; 11). Đáp án: Trung vị của mẫu số liệu trên thuộc khoảng [9; 11).