Giải giúp em voi

Câu 1. a) Mẫu số liệu ghép nhóm trên có 5 nhóm số liệu. - Nhóm 1: Chiều cao từ 8,4 đến 8,6 mét, có 5 cây. - Nhóm 2: Chiều cao từ 8,6 đến 8,8 mét, có 12 cây. - Nhóm 3: Chiều cao từ 8,8 đến 9,0 mét, có 25 cây. - Nhóm 4: Chiều cao từ 9,0 đến 9,2 mét, có 44 cây. - Nhóm 5: Chiều cao từ 9,2 đến 9,4 mét, có 14 cây. b) Tứ phân vị thứ ba bằng khoảng 9,15. Tứ phân vị thứ ba (Q3) là giá trị chia dãy số thành phần tử dưới 75% và phần tử trên 25%. - Tổng số cây là 100 cây. - 75% của 100 cây là 75 cây. Ta tính tổng số cây từ nhóm đầu tiên đến nhóm cuối cùng để xác định nhóm chứa Q3: - Nhóm 1: 5 cây - Nhóm 2: 5 + 12 = 17 cây - Nhóm 3: 17 + 25 = 42 cây - Nhóm 4: 42 + 44 = 86 cây Như vậy, Q3 nằm trong nhóm 4 (chiều cao từ 9,0 đến 9,2 mét). Ta tính Q3 trong nhóm này: - Giới hạn dưới của nhóm 4 là 9,0 mét. - Giới hạn trên của nhóm 4 là 9,2 mét. - Số cây trong nhóm 4 là 44 cây. - Số cây cần tính từ nhóm trước là 42 cây. Q3 = 9,0 + (75 - 42) / 44 (9,2 - 9,0) = 9,0 + 33 / 44 0,2 = 9,0 + 0,15 = 9,15 c) Số cây keo có chiều cao khoảng 9,1 mét là nhiều nhất. Nhóm có số cây nhiều nhất là nhóm 4 (chiều cao từ 9,0 đến 9,2 mét), có 44 cây. d) Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là $\overline{x} = 8,9$ mét. Ta tính số trung bình: - Trung điểm của nhóm 1: (8,4 + 8,6) / 2 = 8,5 mét - Trung điểm của nhóm 2: (8,6 + 8,8) / 2 = 8,7 mét - Trung điểm của nhóm 3: (8,8 + 9,0) / 2 = 8,9 mét - Trung điểm của nhóm 4: (9,0 + 9,2) / 2 = 9,1 mét - Trung điểm của nhóm 5: (9,2 + 9,4) / 2 = 9,3 mét Số trung bình: $\overline{x} = \frac{(8,5 \times 5) + (8,7 \times 12) + (8,9 \times 25) + (9,1 \times 44) + (9,3 \times 14)}{100}$ = $\frac{42,5 + 104,4 + 222,5 + 399,4 + 130,2}{100}$ = $\frac{900}{100}$ = 8,9 Đáp số: a) 5 nhóm số liệu, b) 9,15, c) 9,1 mét, d) 8,9 mét. Câu 2. a) Đúng vì $u_2=18$ b) Đúng vì số ghế ở hàng thứ 20 là $u_{20}=16+2\times (20-1)=56$ (ghế) c) Đúng vì dãy số $(u_n)$ là cấp số cộng có công sai $d=2.$ d) Sai vì tổng số ghế trong nhà hát là $S_{20}=\frac{(16+56)\times 20}{2}=720< 1000$ (ghế) Câu 3. a) Ta có: $f(x)=0$ $\Leftrightarrow \sin x=0$ $\Leftrightarrow x=k\pi, k\in \mathbb{Z}$ Vậy nhận thấy rằng $x=\frac{k\pi}{2}, k\in \mathbb{Z}$ là sai vì $\sin(\frac{\pi}{2})=1$. Do đó, nhận xét này là sai. b) Ta có: $g(x)=-1$ $\Leftrightarrow \cos x=-1$ $\Leftrightarrow x=\pi + k2\pi, k\in \mathbb{Z}$ Vậy nhận thấy rằng $x=-\frac{\pi}{2} + k2\pi, k\in \mathbb{Z}$ là sai vì $\cos(-\frac{\pi}{2})=0$. Do đó, nhận xét này là sai. c) Ta có: $f(x)=\frac{1}{2}$ $\Leftrightarrow \sin x = \frac{1}{2}$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \frac{\pi}{6} + k2\pi \\ x = \frac{5\pi}{6} + k2\pi \end{array} \right., k\in \mathbb{Z}$ Nhận thấy rằng đây là các giá trị đúng của $x$ thỏa mãn phương trình $\sin x = \frac{1}{2}$. Do đó, nhận xét này là đúng. d) Phương trình $g(x) = 2 - m$ có nghiệm khi $-1 \leq 2 - m \leq 1$. Từ đó ta có: $-1 \leq 2 - m \leq 1$ $\Rightarrow 1 \leq m \leq 3$ Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của $P = m^2 - m + 1$ trong khoảng $1 \leq m \leq 3$. Xét hàm số $P(m) = m^2 - m + 1$, ta có: $P'(m) = 2m - 1$ Đặt $P'(m) = 0$, ta có: $2m - 1 = 0$ $\Rightarrow m = \frac{1}{2}$ Nhận thấy rằng $m = \frac{1}{2}$ nằm ngoài khoảng $1 \leq m \leq 3$. Do đó, ta chỉ cần kiểm tra giá trị của $P(m)$ tại các biên của khoảng: $P(1) = 1^2 - 1 + 1 = 1$ $P(3) = 3^2 - 3 + 1 = 9 - 3 + 1 = 7$ Vậy giá trị nhỏ nhất của $P$ trong khoảng $1 \leq m \leq 3$ là $P(1) = 1$. Do đó, nhận xét này là đúng. Đáp số: a) Sai b) Sai c) Đúng d) Đúng Câu 4. a) Khẳng định $(MNP) // (ABCD)$ là sai vì $(MNP)$ cắt $(ABCD)$ tại đường thẳng $OQ$. b) Khẳng định $SQ = 2QD$ là đúng vì $M$, $N$, $P$ lần lượt là trung điểm của $SA$, $SB$, $SC$. Do đó, $MN // AB$, $MP // AD$, và $NP // CD$. Mặt phẳng $(MNP)$ cắt $SD$ tại $Q$, và do tính chất của tam giác đồng dạng, ta có $\frac{SQ}{QD} = \frac{SM}{MA} = 2$. Vậy $SQ = 2QD$. c) Khẳng định $(SAC) \cap (SBD) = SO$ là đúng vì $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$, do đó $SO$ là giao tuyến của hai mặt phẳng $(SAC)$ và $(SBD)$. d) Khẳng định $MN // (ABCD)$ là đúng vì $MN // AB$ và $AB \subset (ABCD)$, nên $MN // (ABCD)$. Đáp số: a) Sai b) Đúng c) Đúng d) Đúng Câu 1. Trước tiên, ta nhận thấy rằng trong hình hộp ABCD.A'B'C'D', các đường thẳng AC' và B'D' là các đường chéo của hai mặt phẳng song song (mặt phẳng (ABCD) và mặt phẳng (A'B'C'D')). Do đó, MN song song với BA' đồng nghĩa với việc MN nằm trong mặt phẳng song song với mặt phẳng (ABA'B') và cắt AC' và B'D' theo cùng một tỉ số. Ta sẽ chứng minh rằng tỉ số $\frac{MC}{MA}$ bằng $\frac{ND'}{NB'}$. Để làm điều này, ta xét các tam giác MCA và NCB': - Vì MN song song với BA', nên góc MCA bằng góc NBA' (góc so le trong). - Góc CAM bằng góc BAN (góc đối đỉnh). Do đó, tam giác MCA đồng dạng với tam giác NBA' theo trường hợp góc - góc. Từ đó suy ra: \[ \frac{MC}{MA} = \frac{NC}{NB'} \] Tương tự, ta xét các tam giác MCA' và NCB': - Vì MN song song với BA', nên góc MCA' bằng góc NBA' (góc so le trong). - Góc CMA' bằng góc CNB' (góc đối đỉnh). Do đó, tam giác MCA' đồng dạng với tam giác NBA' theo trường hợp góc - góc. Từ đó suy ra: \[ \frac{MC}{MA'} = \frac{NC}{NB'} \] Như vậy, ta đã chứng minh được rằng tỉ số $\frac{MC}{MA}$ bằng $\frac{ND'}{NB'}$. Vì MN song song với BA', nên MN chia đều các đoạn AC' và B'D' theo cùng một tỉ số. Do đó, ta có: \[ \frac{MC}{MA} = \frac{ND'}{NB'} \] Vậy tỉ số $\frac{MC}{MA}$ là 1. Đáp số: $\frac{MC}{MA} = 1$. Câu 2. Diện tích của hình vuông ban đầu là $S_1 = 1$. Khi nối các trung điểm của bốn cạnh của hình vuông ban đầu, ta được hình vuông thứ hai có diện tích bằng $\frac{1}{2}$ diện tích của hình vuông ban đầu, tức là $S_2 = \frac{1}{2}$. Tương tự, diện tích của hình vuông thứ ba sẽ là $\frac{1}{2}$ diện tích của hình vuông thứ hai, tức là $S_3 = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \left(\frac{1}{2}\right)^2$. Quá trình này tiếp tục lặp lại, do đó diện tích của hình vuông thứ n sẽ là $S_n = \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}$. Tổng diện tích của tất cả các hình vuông là: \[ S = S_1 + S_2 + S_3 + \cdots \] \[ S = 1 + \frac{1}{2} + \left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^3 + \cdots \] Đây là một dãy số vô hạn với công bội $r = \frac{1}{2}$. Tổng của dãy số này là: \[ S = \frac{1}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2 \] Vậy tổng diện tích của tất cả các hình vuông là $S = 2$.