đáp án của đề

Câu 12. Trước tiên, ta xác định vị trí của các điểm trong tam giác BCD: - G là trọng tâm của tam giác BCD, do đó G chia mỗi đường trung tuyến thành tỉ lệ 2:1 tính từ đỉnh đến trọng tâm. - Trên đoạn BC, ta có MB = 2MC, tức là M chia đoạn BC theo tỉ lệ 2:1. Ta sẽ kiểm tra từng khẳng định: A. MG song song (ACD): - Để MG song song với mặt phẳng (ACD), thì G và M phải nằm trên cùng một đường thẳng song song với (ACD). Điều này không thể xảy ra vì G là trọng tâm của tam giác BCD và M nằm trên đoạn BC. B. MG song song (BCD): - Mặt phẳng (BCD) bao gồm cả G và M, nên MG nằm trong mặt phẳng (BCD), không thể song song với nó. C. MG song song (ABD): - Để MG song song với mặt phẳng (ABD), thì G và M phải nằm trên cùng một đường thẳng song song với (ABD). Điều này cũng không thể xảy ra vì G là trọng tâm của tam giác BCD và M nằm trên đoạn BC. D. MG song song (ACB): - Để MG song song với mặt phẳng (ACB), ta cần kiểm tra xem G và M có nằm trên cùng một đường thẳng song song với (ACB) hay không. - G là trọng tâm của tam giác BCD, do đó G nằm trên đường trung tuyến từ đỉnh D đến trung điểm của BC. - M nằm trên đoạn BC và chia đoạn BC theo tỉ lệ 2:1. Do đó, ta thấy rằng G và M nằm trên cùng một đường thẳng song song với mặt phẳng (ACB). Vậy khẳng định đúng là: D. MG song song (ACB). Đáp án: D. Câu 1. Để giải quyết các khẳng định trên, chúng ta sẽ kiểm tra từng khẳng định một cách chi tiết. Khẳng định a) \( SQ = 2QD \) - Ta thấy rằng \( M, N, P \) lần lượt là trung điểm của \( SA, SB, SC \). Do đó, \( MN \parallel AB \), \( MP \parallel AD \), và \( NP \parallel CD \). - Mặt phẳng \( (MNP) \) cắt \( SD \) tại \( Q \). Vì \( M, N, P \) là trung điểm, nên \( Q \) cũng sẽ là trung điểm của \( SD \) theo tính chất của đường trung bình trong tam giác. - Do đó, \( SQ = QD \), không phải \( SQ = 2QD \). Khẳng định b) \( (SAC) \cap (SBD) = SO \) - Giao tuyến của hai mặt phẳng \( (SAC) \) và \( (SBD) \) là đường thẳng đi qua đỉnh \( S \) và giao điểm của \( AC \) và \( BD \), tức là \( O \). - Do đó, \( (SAC) \cap (SBD) = SO \) là đúng. Khẳng định c) \( (MNP) \parallel (ABCD) \) - Mặt phẳng \( (MNP) \) chứa các đường thẳng \( MN \parallel AB \), \( MP \parallel AD \), và \( NP \parallel CD \). - Vì \( MN, MP, NP \) song song với các đường thẳng nằm trong mặt phẳng \( (ABCD) \), nên \( (MNP) \parallel (ABCD) \) là đúng. Khẳng định d) \( MN \parallel (ABCD) \) - \( MN \parallel AB \), và \( AB \) nằm trong mặt phẳng \( (ABCD) \). - Do đó, \( MN \parallel (ABCD) \) là đúng. Kết luận: - Khẳng định a) sai. - Khẳng định b) đúng. - Khẳng định c) đúng. - Khẳng định d) đúng. Câu 2. Để giải quyết các khẳng định trên, chúng ta sẽ kiểm tra từng khẳng định một cách chi tiết. a) Số ghế ở hàng thứ 20 là 56. - Ta biết rằng dãy số ghế theo quy luật: mỗi hàng sau nhiều hơn hàng liền trước 2 ghế. - Số ghế ở hàng thứ nhất là 16 ghế. - Số ghế ở hàng thứ hai là 18 ghế. - Số ghế ở hàng thứ ba là 20 ghế. - Ta thấy đây là một dãy số cách đều với khoảng cách là 2. Số ghế ở hàng thứ n có thể được tính bằng công thức: \[ u_n = 16 + (n - 1) \times 2 \] Áp dụng công thức này để tìm số ghế ở hàng thứ 20: \[ u_{20} = 16 + (20 - 1) \times 2 = 16 + 19 \times 2 = 16 + 38 = 54 \] Vậy, số ghế ở hàng thứ 20 là 54, không phải 56. Khẳng định này sai. b) Tổng số ghế trong nhà hát nhiều hơn 1000. - Ta đã biết dãy số ghế là dãy số cách đều với khoảng cách là 2. - Số ghế ở hàng thứ n là: \[ u_n = 16 + (n - 1) \times 2 \] Tổng số ghế trong nhà hát có thể được tính bằng công thức tổng của dãy số cách đều: \[ S_n = \frac{n}{2} \times (u_1 + u_n) \] Ở đây, n = 20, u_1 = 16, và u_20 = 54: \[ S_{20} = \frac{20}{2} \times (16 + 54) = 10 \times 70 = 700 \] Vậy, tổng số ghế trong nhà hát là 700, không nhiều hơn 1000. Khẳng định này sai. c) \( u_2 = 18 \) - Ta đã biết số ghế ở hàng thứ hai là 18 ghế. - Vậy, \( u_2 = 18 \). Khẳng định này đúng. d) Dãy số \( (u_n) \) là cấp số cộng có công sai \( d = 2 \). - Ta đã biết dãy số ghế theo quy luật: mỗi hàng sau nhiều hơn hàng liền trước 2 ghế. - Vậy, dãy số \( (u_n) \) là cấp số cộng với công sai \( d = 2 \). Khẳng định này đúng. Kết luận: - Khẳng định a) sai. - Khẳng định b) sai. - Khẳng định c) đúng. - Khẳng định d) đúng. Câu 3. a) Ta có: \[ f(x) = 0 \Leftrightarrow \sin x = 0 \] Biết rằng $\sin x = 0$ khi $x = k\pi$, với $k \in \mathbb{Z}$. Do đó: \[ x = k\pi \quad (k \in \mathbb{Z}) \] b) Ta có: \[ g(x) = -1 \Leftrightarrow \cos x = -1 \] Biết rằng $\cos x = -1$ khi $x = \pi + k2\pi$, với $k \in \mathbb{Z}$. Do đó: \[ x = \pi + k2\pi \quad (k \in \mathbb{Z}) \] c) Ta có: \[ f(x) = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \sin x = \frac{1}{2} \] Biết rằng $\sin x = \frac{1}{2}$ khi $x = \frac{\pi}{6} + k2\pi$ hoặc $x = \frac{5\pi}{6} + k2\pi$, với $k \in \mathbb{Z}$. Do đó: \[ \left[ \begin{array}{l} x = \frac{\pi}{6} + k2\pi \\ x = \frac{5\pi}{6} + k2\pi \end{array} \right. \quad (k \in \mathbb{Z}) \] d) Phương trình $g(x) = 2 - m$ có nghiệm khi $-1 \leq 2 - m \leq 1$. Điều này tương đương với: \[ -1 \leq 2 - m \leq 1 \] Từ đó ta có: \[ -1 \leq 2 - m \Rightarrow m \leq 3 \] \[ 2 - m \leq 1 \Rightarrow m \geq 1 \] Do đó: \[ 1 \leq m \leq 3 \] Bây giờ, ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của $P = m^2 - m + 1$ trong khoảng $1 \leq m \leq 3$. Xét hàm số $P(m) = m^2 - m + 1$ trên đoạn $[1, 3]$: - Tại $m = 1$: $P(1) = 1^2 - 1 + 1 = 1$ - Tại $m = 3$: $P(3) = 3^2 - 3 + 1 = 9 - 3 + 1 = 7$ Hàm số $P(m)$ là một parabol mở lên, do đó giá trị nhỏ nhất của $P(m)$ trên đoạn $[1, 3]$ sẽ là giá trị tại $m = 1$. Vậy giá trị nhỏ nhất của $P$ là: \[ P_{\text{min}} = 1 \] Đáp số: a) $x = k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})$ b) $x = \pi + k2\pi \quad (k \in \mathbb{Z})$ c) $\left[ \begin{array}{l} x = \frac{\pi}{6} + k2\pi \\ x = \frac{5\pi}{6} + k2\pi \end{array} \right. \quad (k \in \mathbb{Z})$ d) Giá trị nhỏ nhất của $P$ là 1. Câu 4. Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ kiểm tra từng phát biểu một để xác định phát biểu nào đúng. a) Tứ phân vị thứ ba bằng khoảng 9,15. - Tứ phân vị thứ ba (Q3) là giá trị chia dãy số thành phần tử dưới 75% và phần tử trên 25%. - Ta tính tổng số lượng cây keo là 100 cây. Vậy Q3 nằm ở vị trí $\frac{3}{4} \times 100 = 75$ cây. - Nhóm có tổng cây từ 5 đến 12, 25, 44, 14 cây lần lượt là các nhóm [8,4;8,6), [8,6;8,8), [8,8;9,0), [9,0;9,2), [9,2;9,4). - Nhóm thứ 4 (từ 75 - 44 = 31 cây) nằm trong nhóm [9,0;9,2). - Do đó, Q3 nằm trong khoảng [9,0;9,2), gần với 9,15. Phát biểu này đúng. b) Mẫu số liệu ghép nhóm trên có 5 nhóm số liệu. - Bảng đã cho rõ ràng có 5 nhóm số liệu: [8,4;8,6), [8,6;8,8), [8,8;9,0), [9,0;9,2), [9,2;9,4). - Phát biểu này đúng. c) Số cây keo có chiều cao khoảng 9,1(m) là nhiều nhất. - Nhóm có nhiều cây nhất là nhóm [9,0;9,2) với 44 cây. - Phát biểu này sai vì không chỉ ra cụ thể khoảng 9,1(m). d) Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là $\overline{x}=8,9(m)$. - Ta tính trung bình cộng của các nhóm: - Nhóm [8,4;8,6): $(8,4 + 8,6) / 2 = 8,5$ - Nhóm [8,6;8,8): $(8,6 + 8,8) / 2 = 8,7$ - Nhóm [8,8;9,0): $(8,8 + 9,0) / 2 = 8,9$ - Nhóm [9,0;9,2): $(9,0 + 9,2) / 2 = 9,1$ - Nhóm [9,2;9,4): $(9,2 + 9,4) / 2 = 9,3$ - Tổng số cây: 100 cây. - Tổng chiều cao: $5 \times 8,5 + 12 \times 8,7 + 25 \times 8,9 + 44 \times 9,1 + 14 \times 9,3 = 42,5 + 104,4 + 222,5 + 400,4 + 130,2 = 899,9$ - Số trung bình: $\frac{899,9}{100} = 8,999 \approx 9,0$ Phát biểu này sai vì số trung bình thực tế là 9,0. Kết luận: Các phát biểu đúng là a) và b). Câu 1. Diện tích của hình vuông ban đầu là: \[ S_1 = 1^2 = 1 \] Khi nối các trung điểm của bốn cạnh của hình vuông ban đầu, ta được hình vuông mới có cạnh bằng $\frac{1}{2}$ cạnh của hình vuông ban đầu. Diện tích của hình vuông này là: \[ S_2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} \] Tiếp tục nối các trung điểm của bốn cạnh của hình vuông thứ hai, ta được hình vuông mới có cạnh bằng $\frac{1}{2}$ cạnh của hình vuông thứ hai. Diện tích của hình vuông này là: \[ S_3 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 \times \frac{1}{4} = \left(\frac{1}{4}\right)^2 = \frac{1}{16} \] Nhìn chung, diện tích của hình vuông ở bước thứ n là: \[ S_n = \left(\frac{1}{4}\right)^{n-1} \] Tổng diện tích của tất cả các hình vuông là: \[ S = S_1 + S_2 + S_3 + ... + S_n + ... \] \[ S = 1 + \frac{1}{4} + \left(\frac{1}{4}\right)^2 + \left(\frac{1}{4}\right)^3 + ... \] Đây là một dãy số geometric với số hạng đầu tiên \( a = 1 \) và công bội \( r = \frac{1}{4} \). Tổng của dãy số geometric vô hạn là: \[ S = \frac{a}{1 - r} \] \[ S = \frac{1}{1 - \frac{1}{4}} \] \[ S = \frac{1}{\frac{3}{4}} \] \[ S = \frac{4}{3} \] Vậy tổng diện tích của tất cả các hình vuông là: \[ \boxed{\frac{4}{3}} \]