đáp án của đề

Câu 2. Giá của mét khoan thứ hai là: \[ 60 + 60 \times 0,06 = 63,6 \text{ (nghìn đồng)} \] Giá của mét khoan thứ ba là: \[ 63,6 + 63,6 \times 0,06 = 67,416 \text{ (nghìn đồng)} \] Nhận thấy rằng giá của mỗi mét khoan theo quy luật tăng dần với tỷ lệ 6%, ta có thể coi đây là dãy số hình học với: - Số hạng đầu tiên \( a_1 = 60 \) - Công bội \( q = 1,06 \) Ta cần tính tổng của 35 số hạng đầu tiên trong dãy số này để tìm tổng số tiền cần chi trả. Công thức tính tổng \( S_n \) của n số hạng đầu tiên trong dãy số hình học là: \[ S_n = a_1 \frac{q^n - 1}{q - 1} \] Áp dụng vào bài toán: \[ S_{35} = 60 \frac{(1,06)^{35} - 1}{1,06 - 1} \] Tính \( (1,06)^{35} \): \[ (1,06)^{35} \approx 7,686 \] Thay vào công thức: \[ S_{35} = 60 \frac{7,686 - 1}{0,06} \] \[ S_{35} = 60 \frac{6,686}{0,06} \] \[ S_{35} = 60 \times 111,433 \] \[ S_{35} \approx 6685,98 \] Làm tròn đến hàng nghìn đồng: \[ S_{35} \approx 6686 \text{ (nghìn đồng)} \] Vậy số tiền cần chi trả để khoan giếng sâu 35m là khoảng 6686 nghìn đồng. Câu 3. Đầu tiên, ta tính chu vi của bánh xe đạp: \[ C = \pi \times d = 3,14 \times 680 = 2135,2 \text{ mm} \] Tiếp theo, ta tính quãng đường mà bánh xe đạp đi được trong 10 giây: \[ Quãng \text{ } đường \text{ } trong \text{ } 10 \text{ } giây = 25 \times 2135,2 = 53380 \text{ mm} \] Chuyển đổi quãng đường từ milimét sang mét: \[ 53380 \text{ mm} = 53,38 \text{ m} \] Bây giờ, ta tính thời gian 10 phút thành giây: \[ 10 \text{ phút} = 10 \times 60 = 600 \text{ giây} \] Số lần bánh xe quay trong 10 phút: \[ Số \text{ } lần \text{ } quay = \frac{600}{10} \times 25 = 1500 \text{ lần} \] Quãng đường mà người đi xe đạp đã đi được trong 10 phút: \[ Quãng \text{ } đường \text{ } trong \text{ } 10 \text{ } phút = 1500 \times 53,38 = 80070 \text{ m} \] Vậy, độ dài quãng đường mà người đi xe đạp đã đi được trong 10 phút là: \[ 80070 \text{ m} \approx 80070 \text{ m} \] Đáp số: 80070 m Câu 4. Đầu tiên, ta cần tính diện tích của tam giác SAD. Vì tam giác SAD đều và cạnh AD = 2, nên diện tích của tam giác SAD là: \[ S_{SAD} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 2^2 = \sqrt{3} \] Thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi mặt phẳng (P) là một hình tam giác, và diện tích của nó bằng một nửa diện tích tam giác SAD, tức là: \[ S_{thiết\ diện} = \frac{\sqrt{3}}{2} \] Mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (SAD), do đó thiết diện là một tam giác đồng dạng với tam giác SAD. Gọi tỷ số đồng dạng giữa thiết diện và tam giác SAD là k, thì diện tích của thiết diện sẽ là: \[ S_{thiết\ diện} = k^2 \times S_{SAD} \] \[ \frac{\sqrt{3}}{2} = k^2 \times \sqrt{3} \] \[ k^2 = \frac{1}{2} \] \[ k = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \] Vì thiết diện đồng dạng với tam giác SAD với tỷ số đồng dạng là $\frac{\sqrt{2}}{2}$, nên chiều cao của thiết diện so với chiều cao của tam giác SAD cũng là $\frac{\sqrt{2}}{2}$. Mặt phẳng (P) cắt đoạn thẳng SA tại điểm N sao cho: \[ \frac{SN}{SA} = \frac{\sqrt{2}}{2} \] Do tam giác SAD đều, nên SA = SD = 2. Vậy: \[ SN = 2 \times \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} \] Mặt phẳng (P) cũng cắt đoạn thẳng SB tại điểm O sao cho: \[ \frac{SO}{SB} = \frac{\sqrt{2}}{2} \] Ta cần tìm x sao cho BM = x và MA = 1 - x. Vì tam giác SAD đều, nên tam giác SAM cũng đều và có cạnh SA = 2. Mặt phẳng (P) cắt đoạn thẳng SB tại điểm O sao cho: \[ \frac{SO}{SB} = \frac{\sqrt{2}}{2} \] Vì SB = 1, nên: \[ SO = 1 \times \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} \] Mặt phẳng (P) cắt đoạn thẳng AB tại điểm M sao cho: \[ \frac{SM}{SA} = \frac{\sqrt{2}}{2} \] Vì SA = 2, nên: \[ SM = 2 \times \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} \] Vậy BM = x và MA = 1 - x, ta có: \[ \frac{BM}{BA} = \frac{x}{1} = \frac{\sqrt{2}}{2} \] \[ x = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0.71 \] Đáp số: \( x \approx 0.71 \) Câu 5. Để xác định độ tuổi của khách hàng nam thường xuyên mua bảo hiểm nhất, ta sẽ tính trung vị của dãy số khách hàng nam mua bảo hiểm ở từng độ tuổi. Bước 1: Xác định tổng số khách hàng nam mua bảo hiểm. Tổng số khách hàng nam mua bảo hiểm là: \[ 4 + 6 + 10 + 7 + 3 = 30 \] Bước 2: Xác định vị trí của trung vị. Vì tổng số khách hàng là 30 (số chẵn), nên trung vị nằm giữa hai giá trị ở vị trí thứ 15 và 16. Bước 3: Xác định khoảng độ tuổi chứa trung vị. - Độ tuổi [20;30) có 4 khách hàng nam. - Độ tuổi [30;40) có 6 khách hàng nam, tổng là 4 + 6 = 10 khách hàng nam. - Độ tuổi [40;50) có 10 khách hàng nam, tổng là 10 + 10 = 20 khách hàng nam. Như vậy, trung vị nằm trong khoảng độ tuổi [40;50). Bước 4: Tính trung vị. Trung vị nằm giữa hai giá trị ở vị trí thứ 15 và 16 trong khoảng độ tuổi [40;50). Ta lấy trung bình cộng của hai giá trị này: \[ \text{Trung vị} = \frac{40 + 50}{2} = 45 \] Vậy, khách hàng nam thường xuyên mua bảo hiểm nhất là ở độ tuổi 45. Đáp số: 45 tuổi. Câu 6. Trước tiên, ta nhận thấy rằng MN song song với BA'. Điều này có nghĩa là MN và BA' nằm trong cùng một mặt phẳng và không giao nhau. Ta sẽ chứng minh rằng MN song song với BA' bằng cách sử dụng tính chất của các đường thẳng song song trong hình học không gian. 1. Ta xét hai đường thẳng MN và BA'. Để chứng minh MN song song với BA', ta cần chứng minh rằng chúng nằm trong cùng một mặt phẳng và không giao nhau. 2. Ta xét mặt phẳng (AC'D') và mặt phẳng (BA'D'). Ta thấy rằng cả hai đường thẳng MN và BA' đều nằm trong mặt phẳng (A'B'C'D'). 3. Ta xét điểm M trên đoạn AC' và điểm N trên đoạn B'D'. Ta thấy rằng MN và BA' đều nằm trong mặt phẳng (A'B'C'D') và không giao nhau. 4. Do đó, MN song song với BA'. Bây giờ, ta sẽ tính tỉ số $\frac{MC^\prime}{MA}$. Ta thấy rằng MN song song với BA', nên ta có thể sử dụng tính chất của các đường thẳng song song để tính tỉ số $\frac{MC^\prime}{MA}$. Ta có: \[ \frac{MC^\prime}{MA} = \frac{ND^\prime}{NB} \] Vì MN song song với BA', nên ta có thể sử dụng tính chất của các đường thẳng song song để tính tỉ số $\frac{MC^\prime}{MA}$. Ta thấy rằng: \[ \frac{MC^\prime}{MA} = \frac{ND^\prime}{NB} = \frac{1}{2} \] Vậy tỉ số $\frac{MC^\prime}{MA}$ là $\frac{1}{2}$. Đáp số: $\frac{1}{2}$