Giup e vs a

Để giải quyết các khẳng định trên, chúng ta sẽ lần lượt kiểm tra từng khẳng định dựa trên các kiến thức về đạo hàm và nguyên hàm. a) Kiểm tra $F'(x) = \sin 2x$ Ta có: \[ f(x) = \cos^2 x \] Tính đạo hàm của $f(x)$: \[ f'(x) = -2 \cos x \sin x = -\sin 2x \] Do đó, nếu $F(x)$ là nguyên hàm của $f(x)$ thì: \[ F'(x) = f(x) = \cos^2 x \] Như vậy, khẳng định a) là sai vì $F'(x) = \cos^2 x$, không phải $\sin 2x$. b) Kiểm tra $F(x) = \int \frac{1 + \cos 2x}{2} dx$ Ta biết rằng: \[ \cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2} \] Do đó: \[ F(x) = \int \cos^2 x \, dx = \int \frac{1 + \cos 2x}{2} \, dx \] Tích phân từng phần: \[ F(x) = \frac{1}{2} \int 1 \, dx + \frac{1}{2} \int \cos 2x \, dx \] \[ F(x) = \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin 2x}{2} + C \] \[ F(x) = \frac{x}{2} + \frac{\sin 2x}{4} + C \] Như vậy, khẳng định b) là đúng. c) Kiểm tra $\frac{\sin x \cos x + x}{2}$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ Ta có: \[ \frac{d}{dx} \left( \frac{\sin x \cos x + x}{2} \right) = \frac{1}{2} \left( \cos^2 x - \sin^2 x + 1 \right) \] \[ = \frac{1}{2} \left( \cos 2x + 1 \right) \] \[ = \frac{1 + \cos 2x}{2} \] \[ = \cos^2 x \] Như vậy, khẳng định c) là đúng. d) Biết $F(0) = 0$. Suy ra $F(\pi) = \pi$ Ta đã có: \[ F(x) = \frac{x}{2} + \frac{\sin 2x}{4} + C \] Biết $F(0) = 0$: \[ F(0) = \frac{0}{2} + \frac{\sin 0}{4} + C = 0 \] \[ C = 0 \] Do đó: \[ F(x) = \frac{x}{2} + \frac{\sin 2x}{4} \] Tính $F(\pi)$: \[ F(\pi) = \frac{\pi}{2} + \frac{\sin 2\pi}{4} \] \[ = \frac{\pi}{2} + \frac{0}{4} \] \[ = \frac{\pi}{2} \] Như vậy, khẳng định d) là sai vì $F(\pi) = \frac{\pi}{2}$, không phải $\pi$. Kết luận: - Khẳng định a) là sai. - Khẳng định b) là đúng. - Khẳng định c) là đúng. - Khẳng định d) là sai.