Hộ em vs ajjjj

Câu 6: Để tìm họ nguyên hàm của hàm số \( f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}} + \frac{1}{x} - \frac{1}{x^2} \), chúng ta sẽ tính nguyên hàm từng phần của mỗi thành phần trong tổng này. 1. Tính nguyên hàm của \( \frac{1}{\sqrt{x}} \): \[ \int \frac{1}{\sqrt{x}} \, dx = \int x^{-\frac{1}{2}} \, dx = \frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} + C_1 = 2\sqrt{x} + C_1 \] 2. Tính nguyên hàm của \( \frac{1}{x} \): \[ \int \frac{1}{x} \, dx = \ln|x| + C_2 = \ln x + C_2 \quad (\text{vì } x > 0) \] 3. Tính nguyên hàm của \( -\frac{1}{x^2} \): \[ \int -\frac{1}{x^2} \, dx = -\int x^{-2} \, dx = -\left( \frac{x^{-1}}{-1} \right) + C_3 = \frac{1}{x} + C_3 \] Bây giờ, chúng ta cộng tất cả các nguyên hàm lại: \[ \int f(x) \, dx = 2\sqrt{x} + \ln x + \frac{1}{x} + C \] Trong đó, \( C \) là hằng số tích hợp tổng quát, bao gồm \( C_1 + C_2 + C_3 \). Do đó, họ nguyên hàm của hàm số \( f(x) \) là: \[ 2\sqrt{x} + \ln x + \frac{1}{x} + C \] Vậy đáp án đúng là: C. \( 2\sqrt{x} + \ln x - \frac{1}{x} + C \) Tuy nhiên, có vẻ như có một lỗi nhỏ trong đề bài hoặc đáp án. Đáp án đúng theo các bước trên là: \[ 2\sqrt{x} + \ln x + \frac{1}{x} + C \] Vậy đáp án đúng là: B. \( 2\sqrt{x} + \ln x + \frac{1}{x} + C \) Câu 7: Để tìm nguyên hàm của hàm số $y = \frac{x^3 + x + 1}{x}$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Rút gọn phân thức: \[ y = \frac{x^3 + x + 1}{x} = \frac{x^3}{x} + \frac{x}{x} + \frac{1}{x} = x^2 + 1 + \frac{1}{x} \] Bước 2: Tìm nguyên hàm của mỗi thành phần: - Nguyên hàm của $x^2$ là $\frac{x^3}{3}$. - Nguyên hàm của $1$ là $x$. - Nguyên hàm của $\frac{1}{x}$ là $\ln |x|$. Bước 3: Kết hợp các nguyên hàm lại: \[ \int \left( x^2 + 1 + \frac{1}{x} \right) dx = \frac{x^3}{3} + x + \ln |x| + C \] Vậy nguyên hàm của hàm số $y = \frac{x^3 + x + 1}{x}$ là: \[ \frac{x^3}{3} + x + \ln |x| + C \] Do đó, đáp án đúng là: D. $\frac{x^3}{3} + x + \ln |x| + C$. Câu 8: Để tìm hàm số \( f(x) \), ta cần tính đạo hàm của nguyên hàm đã cho. Ta có: \[ \int f(x) \, dx = \ln |x| + 3x^2 + 2 \] Áp dụng công thức đạo hàm của nguyên hàm, ta có: \[ f(x) = \frac{d}{dx} (\ln |x| + 3x^2 + 2) \] Tính đạo hàm từng thành phần: 1. Đạo hàm của \(\ln |x|\) là \(\frac{1}{x}\). 2. Đạo hàm của \(3x^2\) là \(6x\). 3. Đạo hàm của hằng số 2 là 0. Vậy: \[ f(x) = \frac{1}{x} + 6x \] Do đó, đáp án đúng là: B. \( f(x) = \frac{1}{x} + 6x \) Đáp số: B. \( f(x) = \frac{1}{x} + 6x \) Câu 9: Để tìm hàm số \( f(x) \) thỏa mãn điều kiện \( f'(x) = x + \sin x + \frac{1}{\cos^2 x} \) và \( f(0) = 1 \), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tính nguyên hàm của \( f'(x) \). Ta có: \[ f'(x) = x + \sin x + \frac{1}{\cos^2 x} \] Tính nguyên hàm từng phần: \[ \int x \, dx = \frac{x^2}{2} + C_1 \] \[ \int \sin x \, dx = -\cos x + C_2 \] \[ \int \frac{1}{\cos^2 x} \, dx = \int \sec^2 x \, dx = \tan x + C_3 \] Vậy: \[ f(x) = \frac{x^2}{2} - \cos x + \tan x + C \] Bước 2: Áp dụng điều kiện \( f(0) = 1 \) để xác định hằng số \( C \). Thay \( x = 0 \) vào \( f(x) \): \[ f(0) = \frac{0^2}{2} - \cos 0 + \tan 0 + C = 1 \] \[ 0 - 1 + 0 + C = 1 \] \[ C = 2 \] Vậy hàm số \( f(x) \) là: \[ f(x) = \frac{x^2}{2} - \cos x + \tan x + 2 \] Đáp án đúng là: A. \( f(x) = \frac{x^2}{2} - \cos x + \tan x + 2 \) Đáp số: A. \( f(x) = \frac{x^2}{2} - \cos x + \tan x + 2 \) Câu 10: Để tìm $F(x)$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tính nguyên hàm của $f(x)$: \[ F(x) = \int (4x^3 - 3x^2 + 2) \, dx \] Ta tính từng phần nguyên hàm: \[ \int 4x^3 \, dx = 4 \cdot \frac{x^4}{4} = x^4 \] \[ \int -3x^2 \, dx = -3 \cdot \frac{x^3}{3} = -x^3 \] \[ \int 2 \, dx = 2x \] Vậy: \[ F(x) = x^4 - x^3 + 2x + C \] Trong đó, $C$ là hằng số nguyên hàm. Bước 2: Xác định hằng số $C$ dựa trên điều kiện $F(-1) = 3$: \[ F(-1) = (-1)^4 - (-1)^3 + 2(-1) + C = 3 \] \[ 1 + 1 - 2 + C = 3 \] \[ 0 + C = 3 \] \[ C = 3 \] Bước 3: Thay $C$ vào biểu thức của $F(x)$: \[ F(x) = x^4 - x^3 + 2x + 3 \] Vậy đáp án đúng là: B. $F(x) = x^4 - x^3 + 2x + 3$ Đáp số: B. $F(x) = x^4 - x^3 + 2x + 3$ Câu 11: Để tìm công thức tính quãng đường đi được của vật theo thời gian, ta cần tích phân gia tốc để tìm vận tốc và sau đó tích phân vận tốc để tìm quãng đường. Bước 1: Tích phân gia tốc để tìm vận tốc: \[ v(t) = \int a(t) \, dt = \int \sin(2t + \frac{\pi}{3}) \, dt \] Sử dụng phương pháp đổi biến, đặt \( u = 2t + \frac{\pi}{3} \), ta có \( du = 2 \, dt \) hoặc \( dt = \frac{1}{2} \, du \). Do đó: \[ v(t) = \int \sin(u) \cdot \frac{1}{2} \, du = -\frac{1}{2} \cos(u) + C_1 = -\frac{1}{2} \cos(2t + \frac{\pi}{3}) + C_1 \] Biết rằng tại thời điểm \( t = 0 \), vận tốc \( v(0) = 0 \): \[ 0 = -\frac{1}{2} \cos(\frac{\pi}{3}) + C_1 \] \[ 0 = -\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + C_1 \] \[ 0 = -\frac{1}{4} + C_1 \] \[ C_1 = \frac{1}{4} \] Vậy: \[ v(t) = -\frac{1}{2} \cos(2t + \frac{\pi}{3}) + \frac{1}{4} \] Bước 2: Tích phân vận tốc để tìm quãng đường: \[ s(t) = \int v(t) \, dt = \int \left( -\frac{1}{2} \cos(2t + \frac{\pi}{3}) + \frac{1}{4} \right) \, dt \] Tích phân từng phần: \[ s(t) = -\frac{1}{2} \int \cos(2t + \frac{\pi}{3}) \, dt + \frac{1}{4} \int dt \] Lại sử dụng phương pháp đổi biến, đặt \( u = 2t + \frac{\pi}{3} \), ta có \( du = 2 \, dt \) hoặc \( dt = \frac{1}{2} \, du \). Do đó: \[ s(t) = -\frac{1}{2} \int \cos(u) \cdot \frac{1}{2} \, du + \frac{1}{4} t + C_2 \] \[ s(t) = -\frac{1}{4} \sin(u) + \frac{1}{4} t + C_2 \] \[ s(t) = -\frac{1}{4} \sin(2t + \frac{\pi}{3}) + \frac{1}{4} t + C_2 \] Biết rằng tại thời điểm \( t = 0 \), quãng đường \( s(0) = 0 \): \[ 0 = -\frac{1}{4} \sin(\frac{\pi}{3}) + C_2 \] \[ 0 = -\frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + C_2 \] \[ 0 = -\frac{\sqrt{3}}{8} + C_2 \] \[ C_2 = \frac{\sqrt{3}}{8} \] Vậy: \[ s(t) = -\frac{1}{4} \sin(2t + \frac{\pi}{3}) + \frac{1}{4} t + \frac{\sqrt{3}}{8} \] Đáp án đúng là: D. \( s(t) = -\frac{1}{4} \sin(2t + \frac{\pi}{3}) + \frac{1}{4} t + \frac{\sqrt{3}}{8} \) Câu 12: Để tìm chiều cao của cây sau 5 năm, ta cần tính tổng chiều cao cây tăng trong 4 năm tiếp theo (vì năm đầu tiên cây đã cao 4 m). Chiều cao cây tăng trong 16 năm tiếp theo với tốc độ \( f(x) = \frac{1}{2x + 1} \) (m/năm). Ta sẽ tính tổng chiều cao cây tăng trong 4 năm tiếp theo từ năm thứ hai đến năm thứ năm. Ta có: \[ F(1) = 4 \text{ m} \] Từ năm thứ hai đến năm thứ năm, ta tính tổng chiều cao cây tăng bằng cách tích phân hàm \( f(x) \) từ 1 đến 5: \[ \int_{1}^{5} f(x) \, dx = \int_{1}^{5} \frac{1}{2x + 1} \, dx \] Thực hiện phép tích phân: \[ \int \frac{1}{2x + 1} \, dx = \frac{1}{2} \ln |2x + 1| + C \] Áp dụng cận trên và cận dưới: \[ \left[ \frac{1}{2} \ln |2x + 1| \right]_{1}^{5} = \frac{1}{2} \ln |2 \cdot 5 + 1| - \frac{1}{2} \ln |2 \cdot 1 + 1| \] \[ = \frac{1}{2} \ln 11 - \frac{1}{2} \ln 3 \] \[ = \frac{1}{2} (\ln 11 - \ln 3) \] \[ = \frac{1}{2} \ln \left(\frac{11}{3}\right) \] Tính giá trị số: \[ \frac{1}{2} \ln \left(\frac{11}{3}\right) \approx \frac{1}{2} \times 1,335 \approx 0,6675 \text{ m} \] Vậy tổng chiều cao cây tăng trong 4 năm tiếp theo là khoảng 0,6675 m. Chiều cao của cây sau 5 năm là: \[ F(5) = F(1) + 0,6675 \] \[ F(5) = 4 + 0,6675 \] \[ F(5) \approx 4,6675 \text{ m} \] Làm tròn đến hàng phần trăm, ta có: \[ F(5) \approx 4,67 \text{ m} \] Do đó, đáp án gần đúng nhất là: D. 4,65 năm. Đáp án: D. 4,65 năm.