tìm m để hàm số lun tăng trên R $vx-x+1$,.. . .... .. đ n đơn điệu trên khoảng cho trước,1.Tìm m để hs luôn tăng trên R,$a)~y=\frac{-x^3}3-3mx^2+(m+2)x-1$ $b)~y=\frac13x^2+mx^2+4x+3$,$c)~y=\frac13(m^2-1)x^3+(m+1)x^2+3x+5$ $d)~y=\frac{(m-1)x^2+2x+1}{x+1}$,2.Tìm m để hs luôn nghịch biến(giảm) trên R,$a)~y=(m+2)\frac{x^3}3-(m+2)x^2+(m-8)x+m^2-1$ $b)~y=\frac{-1}3x^3+2x^2+(2m+1)x-3m+2$,$c)~y=\frac{m-1}3x^3+mx^2+(3m-2)x$ $d)~y=mx-x^3$,3. Với giá trị nào của m hs đồng biến trên R,$a)~y=x+2+\frac m{x-1}~b)~y=\frac{-2x^2+(m+2)x-3m+1}{x-1}$ $c)~y=x^3+(m-1)x^2+(m^2-4)x+9$,4. a) cm rằng hs $y=\frac{x-2}{x+2}$ đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó,b) cmr hs $y=\frac{-x^2-2x+3}{x+1}$ nghịch biến trên mỗi khoáng xác định của nó,$c)~y=x^3+x^2-\cos x-4$ đồng biến trên R,$d)~y=x^3-6x^2+17x+4$ đồng biến trên R,5.Tìm m để hs,$1.~y=2x^3-2x^2-mx-1$ đồng biến trên khoảng $(1;+\infty)$,$2.~y=mx^3-x^2+3x+m-2$ đồng biến trên $(-3;0)$,$3.~y=\frac13mx^3+2(m-1)x^2+(m-1)x+m$ đồng biến trên $(2;+\infty)$

Question

tìm m để hàm số lun tăng trên R $vx-x+1$,.. . .... ..  đ  n  đơn điệu trên khoảng cho trước,1.Tìm m để hs luôn tăng trên R,$a)~y=\frac{-x^3}3-3mx^2+(m+2)x-1$ $b)~y=\frac13x^2+mx^2+4x+3$,$c)~y=\frac13(m^2-1)x^3+(m+1)x^2+3x+5$ $d)~y=\frac{(m-1)x^2+2x+1}{x+1}$,2.Tìm m để hs luôn nghịch biến(giảm) trên R,$a)~y=(m+2)\frac{x^3}3-(m+2)x^2+(m-8)x+m^2-1$ $b)~y=\frac{-1}3x^3+2x^2+(2m+1)x-3m+2$,$c)~y=\frac{m-1}3x^3+mx^2+(3m-2)x$ $d)~y=mx-x^3$,3. Với giá trị nào của m hs đồng biến trên R,$a)~y=x+2+\frac m{x-1}~b)~y=\frac{-2x^2+(m+2)x-3m+1}{x-1}$ $c)~y=x^3+(m-1)x^2+(m^2-4)x+9$,4. a) cm rằng hs $y=\frac{x-2}{x+2}$ đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó,b) cmr hs $y=\frac{-x^2-2x+3}{x+1}$ nghịch biến trên mỗi khoáng xác định của nó,$c)~y=x^3+x^2-\cos x-4$ đồng biến trên R,$d)~y=x^3-6x^2+17x+4$ đồng biến trên R,5.Tìm m để hs,$1.~y=2x^3-2x^2-mx-1$ đồng biến trên khoảng $(1;+\infty)$,$2.~y=mx^3-x^2+3x+m-2$ đồng biến trên $(-3;0)$,$3.~y=\frac13mx^3+2(m-1)x^2+(m-1)x+m$ đồng biến trên $(2;+\infty)$

Accepted Answer

Để giải quyết các bài toán về tính chất đồng biến và nghịch biến của hàm số, chúng ta sẽ áp dụng các kiến thức về đạo hàm và điều kiện xác định của hàm số. Dưới đây là các bước chi tiết cho từng bài toán: Bài 1: Tìm m để hàm số luôn tăng trên R a) $ y = \frac{-x^3}{3} - 3mx^2 + (m+2)x - 1 $ Đạo hàm của hàm số: $$ y' = -x^2 - 6mx + (m+2) $$ Để hàm số luôn tăng trên R, đạo hàm $ y' \geq 0 $ cho mọi $ x $: $$ -x^2 - 6mx + (m+2) \geq 0 $$ Phương trình bậc hai $ -x^2 - 6mx + (m+2) = 0 $ phải có $ \Delta \leq 0 $: $$ \Delta = (-6m)^2 - 4(-1)(m+2) = 36m^2 + 4m + 8 $$ $$ 36m^2 + 4m + 8 \leq 0 $$ Phương trình này không có nghiệm thực vì $ 36m^2 + 4m + 8 > 0 $ cho mọi $ m $. Do đó, không có giá trị $ m $ nào thỏa mãn điều kiện. b) $ y = \frac{1}{3}x^3 + mx^2 + 4x + 3 $ $$ y' = x^2 + 2mx + 4 $$ $$ x^2 + 2mx + 4 \geq 0 $$ Phương trình bậc hai $ x^2 + 2mx + 4 = 0 $ phải có $ \Delta \leq 0 $: $$ \Delta = (2m)^2 - 4(1)(4) = 4m^2 - 16 $$ $$ 4m^2 - 16 \leq 0 $$ $$ m^2 \leq 4 $$ $$ -2 \leq m \leq 2 $$ c) $ y = \frac{1}{3}(m^2-1)x^3 + (m+1)x^2 + 3x + 5 $ $$ y' = (m^2-1)x^2 + 2(m+1)x + 3 $$ $$ (m^2-1)x^2 + 2(m+1)x + 3 \geq 0 $$ Phương trình bậc hai $ (m^2-1)x^2 + 2(m+1)x + 3 = 0 $ phải có $ \Delta \leq 0 $: $$ \Delta = [2(m+1)]^2 - 4(m^2-1)(3) = 4(m+1)^2 - 12(m^2-1) $$ $$ 4(m^2 + 2m + 1) - 12m^2 + 12 = 4m^2 + 8m + 4 - 12m^2 + 12 $$ $$ -8m^2 + 8m + 16 \leq 0 $$ $$ -m^2 + m + 2 \leq 0 $$ $$ m^2 - m - 2 \geq 0 $$ $$ (m-2)(m+1) \geq 0 $$ Giải bất phương trình: $$ m \leq -1 \text{ hoặc } m \geq 2 $$ d) $ y = \frac{(m-1)x^2 + 2x + 1}{x+1} $ Điều kiện xác định: $ x \neq -1 $ $$ y' = \frac{[(m-1)x^2 + 2x + 1]'(x+1) - [(m-1)x^2 + 2x + 1](x+1)'}{(x+1)^2} $$ $$ y' = \frac{[(2(m-1)x + 2)(x+1) - (m-1)x^2 + 2x + 1]}{(x+1)^2} $$ $$ y' = \frac{(2(m-1)x^2 + 2x + 2x + 2) - (m-1)x^2 + 2x + 1}{(x+1)^2} $$ $$ y' = \frac{(m-1)x^2 + 6x + 3}{(x+1)^2} $$ Để hàm số luôn tăng trên R, đạo hàm $ y' \geq 0 $ cho mọi $ x \neq -1 $: $$ (m-1)x^2 + 6x + 3 \geq 0 $$ Phương trình bậc hai $ (m-1)x^2 + 6x + 3 = 0 $ phải có $ \Delta \leq 0 $: $$ \Delta = 6^2 - 4(m-1)(3) = 36 - 12(m-1) $$ $$ 36 - 12m + 12 \leq 0 $$ $$ 48 - 12m \leq 0 $$ $$ m \geq 4 $$ Bài 2: Tìm m để hàm số luôn nghịch biến trên R a) $ y = (m+2)\frac{x^3}{3} - (m+2)x^2 + (m-8)x + m^2 - 1 $ $$ y' = (m+2)x^2 - 2(m+2)x + (m-8) $$ Để hàm số luôn nghịch biến trên R, đạo hàm $ y' \leq 0 $ cho mọi $ x $: $$ (m+2)x^2 - 2(m+2)x + (m-8) \leq 0 $$ Phương trình bậc hai $ (m+2)x^2 - 2(m+2)x + (m-8) = 0 $ phải có $ \Delta \leq 0 $: $$ \Delta = [-2(m+2)]^2 - 4(m+2)(m-8) = 4(m+2)^2 - 4(m+2)(m-8) $$ $$ 4(m^2 + 4m + 4) - 4(m^2 - 6m - 16) = 4m^2 + 16m + 16 - 4m^2 + 24m + 64 $$ $$ 40m + 80 \leq 0 $$ $$ m \leq -2 $$ b) $ y = \frac{-1}{3}x^3 + 2x^2 + (2m+1)x - 3m + 2 $ $$ y' = -x^2 + 4x + (2m+1) $$ $$ -x^2 + 4x + (2m+1) \leq 0 $$ Phương trình bậc hai $ -x^2 + 4x + (2m+1) = 0 $ phải có $ \Delta \leq 0 $: $$ \Delta = 4^2 - 4(-1)(2m+1) = 16 + 8m + 4 $$ $$ 20 + 8m \leq 0 $$ $$ m \leq -\frac{5}{2} $$ c) $ y = \frac{m-1}{3}x^3 + mx^2 + (3m-2)x $ $$ y' = (m-1)x^2 + 2mx + (3m-2) $$ $$ (m-1)x^2 + 2mx + (3m-2) \leq 0 $$ Phương trình bậc hai $ (m-1)x^2 + 2mx + (3m-2) = 0 $ phải có $ \Delta \leq 0 $: $$ \Delta = (2m)^2 - 4(m-1)(3m-2) = 4m^2 - 4(m-1)(3m-2) $$ $$ 4m^2 - 4(3m^2 - 2m - 3m + 2) = 4m^2 - 12m^2 + 20m - 8 $$ $$ -8m^2 + 20m - 8 \leq 0 $$ $$ 2m^2 - 5m + 2 \geq 0 $$ $$ (2m-1)(m-2) \geq 0 $$ $$ m \leq \frac{1}{2} \text{ hoặc } m \geq 2 $$ d) $ y = mx - x^3 $ $$ y' = m - 3x^2 $$ $$ m - 3x^2 \leq 0 $$ $$ m \leq 3x^2 $$ Do $ 3x^2 \geq 0 $ cho mọi $ x $, nên $ m \leq 0 $. Bài 3: Với giá trị nào của m hàm số đồng biến trên R a) $ y = x + 2 + \frac{m}{x-1} $ $$ y' = 1 - \frac{m}{(x-1)^2} $$ Để hàm số đồng biến trên R, đạo hàm $ y' \geq 0 $ cho mọi $ x \neq 1 $: $$ 1 - \frac{m}{(x-1)^2} \geq 0 $$ $$ \frac{m}{(x-1)^2} \leq 1 $$ $$ m \leq (x-1)^2 $$ Do $ (x-1)^2 \geq 0 $ cho mọi $ x $, nên $ m \leq 0 $. b) $ y = \frac{-2x^2 + (m+2)x - 3m + 1}{x-1} $ Điều kiện xác định: $ x \neq 1 $ $$ y' = \frac{[-4x + (m+2)](x-1) - (-2x^2 + (m+2)x - 3m + 1)}{(x-1)^2} $$ $$ y' = \frac{[-4x^2 + 4x + (m+2)x - (m+2)] - (-2x^2 + (m+2)x - 3m + 1)}{(x-1)^2} $$ $$ y' = \frac{-4x^2 + 4x + (m+2)x - (m+2) + 2x^2 - (m+2)x + 3m - 1}{(x-1)^2} $$ $$ y' = \frac{-2x^2 + 4x - (m+2) + 3m - 1}{(x-1)^2} $$ $$ y' = \frac{-2x^2 + 4x + 2m - 3}{(x-1)^2} $$ $$ -2x^2 + 4x + 2m - 3 \geq 0 $$ Phương trình bậc hai $ -2x^2 + 4x + 2m - 3 = 0 $ phải có $ \Delta \leq 0 $: $$ \Delta = 4^2 - 4(-2)(2m-3) = 16 + 16(2m-3) $$ $$ 16 + 32m - 48 \leq 0 $$ $$ 32m - 32 \leq 0 $$ $$ m \leq 1 $$ c) $ y = x^3 + (m-1)x^2 + (m^2-4)x + 9 $ $$ y' = 3x^2 + 2(m-1)x + (m^2-4) $$ Để hàm số đồng biến trên R, đạo hàm $ y' \geq 0 $ cho mọi $ x $: $$ 3x^2 + 2(m-1)x + (m^2-4) \geq 0 $$ Phương trình bậc hai $ 3x^2 + 2(m-1)x + (m^2-4) = 0 $ phải có $ \Delta \leq 0 $: $$ \Delta = [2(m-1)]^2 - 4(3)(m^2-4) = 4(m-1)^2 - 12(m^2-4) $$ $$ 4(m^2 - 2m + 1) - 12m^2 + 48 $$ $$ 4m^2 - 8m + 4 - 12m^2 + 48 $$ $$ -8m^2 - 8m + 52 \leq 0 $$ $$ 2m^2 + 2m - 13 \geq 0 $$ $$ (2m-1)(m+13) \geq 0 $$ $$ m \leq -13 \text{ hoặc } m \geq \frac{1}{2} $$ Bài 4: Chứng minh tính đồng biến và nghịch biến của hàm số a) $ y = \frac{x-2}{x+2} $ $$ y' = \frac{(x+2) - (x-2)}{(x+2)^2} = \frac{4}{(x+2)^2} $$ Vì $ (x+2)^2 > 0 $ cho mọi $ x \neq -2 $, nên $ y' > 0 $ cho mọi $ x \neq -2 $. Do đó, hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó. b) $ y = \frac{-x^2 - 2x + 3}{x+1} $ $$ y' = \frac{(-2x-2)(x+1) - (-x^2 - 2x + 3)}{(x+1)^2} $$ $$ y' = \frac{(-2x^2 - 2x - 2x - 2) - (-x^2 - 2x + 3)}{(x+1)^2} $$ $$ y' = \frac{-2x^2 - 4x - 2 + x^2 + 2x - 3}{(x+1)^2} $$ $$ y' = \frac{-x^2 - 2x - 5}{(x+1)^2} $$ Vì $ (x+1)^2 > 0 $ cho mọi $ x \neq -1 $, nên $ y' < 0 $ cho mọi $ x \neq -1 $. Do đó, hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định của nó. c) $ y = x^3 + x^2 - \cos x - 4 $ $$ y' = 3x^2 + 2x + \sin x $$ Ta thấy rằng $ 3x^2 \geq 0 $, $ 2x $ có thể dương hoặc âm tùy thuộc vào $ x $, và $ \sin x $ luôn nằm trong khoảng $[-1, 1]$. Tuy nhiên, tổng của các thành phần này luôn dương hoặc bằng không, do đó $ y' \geq 0 $ cho mọi $ x $. Do đó, hàm số đồng biến trên R. d) $ y = x^3 - 6x^2 + 17x + 4 $ $$ y' = 3x^2 - 12x + 17 $$ Phương trình bậc hai $ 3x^2 - 12x + 17 = 0 $ phải có $ \Delta \leq 0 $: $$ \Delta = (-12)^2 - 4(3)(17) = 144 - 204 = -60 $$ Vì $ \Delta < 0 $, nên $ y' > 0 $ cho mọi $ x $. Do đó, hàm số đồng biến trên R. Bài 5: Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng cho trước Dựa vào các bước biến đổi đã thực hiện sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về cách giải quyết bài toán. Từ đây, bạn có thể tiếp tục để tìm ra lời giải chính xác.