Giúp mik vs

Câu 2: a) Tọa độ trọng tâm tam giác ABC là $G(\frac73;-1;\frac13).$ - Tọa độ trọng tâm của tam giác ABC được tính bằng cách lấy trung bình cộng của tọa độ các đỉnh: \[ G\left( \frac{4+1+2}{3}, \frac{0-4+1}{3}, \frac{2-2+1}{3} \right) = G\left( \frac{7}{3}, -1, \frac{1}{3} \right) \] Đáp án đúng. b) Điểm D thỏa mãn ABDC là hình bình hành, khi đó tọa độ điểm D là $D(5;5;5).$ - Trong hình bình hành, vectơ $\overrightarrow{AB}$ bằng vectơ $\overrightarrow{CD}$: \[ \overrightarrow{AB} = (1-4, -4-0, -2-2) = (-3, -4, -4) \] \[ \overrightarrow{CD} = (x_D - 2, y_D - 1, z_D - 1) \] Do đó: \[ x_D - 2 = -3 \Rightarrow x_D = -1 \] \[ y_D - 1 = -4 \Rightarrow y_D = -3 \] \[ z_D - 1 = -4 \Rightarrow z_D = -3 \] Tọa độ điểm D là $D(-1, -3, -3)$. Đáp án sai. c) Tam giác ABC là tam giác tù. - Ta kiểm tra góc giữa các cạnh: \[ \overrightarrow{AB} = (-3, -4, -4) \] \[ \overrightarrow{AC} = (-2, 1, -1) \] \[ \overrightarrow{BC} = (1, 5, 3) \] Tính tích vô hướng: \[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = (-3)(-2) + (-4)(1) + (-4)(-1) = 6 - 4 + 4 = 6 > 0 \] \[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} = (-3)(1) + (-4)(5) + (-4)(3) = -3 - 20 - 12 = -35 < 0 \] \[ \overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BC} = (-2)(1) + (1)(5) + (-1)(3) = -2 + 5 - 3 = 0 \] Góc giữa $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{BC}$ là góc tù vì tích vô hướng âm. Đáp án đúng. d) Gọi điểm $E(a,b,c)$ là giao điểm của đường thẳng BC với mặt phẳng tọa độ (Oxz), khi đó \[ \frac{2a}{c} + b = \frac{9}{2}. \] - Đường thẳng BC có phương vector $\overrightarrow{BC} = (1, 5, 3)$. Phương trình tham số của đường thẳng BC: \[ x = 2 + t \] \[ y = 1 + 5t \] \[ z = 1 + 3t \] Điểm E thuộc mặt phẳng (Oxz) nên $y = 0$: \[ 1 + 5t = 0 \Rightarrow t = -\frac{1}{5} \] Thay vào phương trình tham số: \[ x = 2 - \frac{1}{5} = \frac{9}{5} \] \[ y = 0 \] \[ z = 1 - \frac{3}{5} = \frac{2}{5} \] Tọa độ điểm E là $E\left( \frac{9}{5}, 0, \frac{2}{5} \right)$. Kiểm tra: \[ \frac{2a}{c} + b = \frac{2 \cdot \frac{9}{5}}{\frac{2}{5}} + 0 = \frac{18}{2} = 9 \neq \frac{9}{2} \] Đáp án sai. Đáp án: a) Đúng b) Sai c) Đúng d) Sai Câu 3: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ kiểm tra từng phần một cách chi tiết. a) $AH \perp (SBC)$ - Ta biết rằng $SA \perp (ABCD)$, do đó $SA \perp AB$ và $SA \perp BC$. - Mặt khác, $AH \perp SB$ theo đề bài. - Vì $SA \perp BC$ và $AH \perp SB$, nên $AH$ vuông góc với cả hai đường thẳng $SB$ và $BC$ nằm trong mặt phẳng $(SBC)$. - Do đó, $AH \perp (SBC)$. b) $d(A, (SBC)) = \frac{\sqrt{3}}{3}a$ - Để tính khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $(SBC)$, ta sử dụng công thức khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng. - Ta đã biết $AH \perp (SBC)$, do đó $AH$ chính là khoảng cách từ $A$ đến $(SBC)$. - Ta cần tính độ dài $AH$: - Trong tam giác vuông $SAB$, ta có $SA = a\sqrt{3}$ và $AB = a$. - Diện tích tam giác $SAB$ là $\frac{1}{2} \times SA \times AB = \frac{1}{2} \times a\sqrt{3} \times a = \frac{a^2\sqrt{3}}{2}$. - Diện tích tam giác $SAB$ cũng có thể tính qua $SB$ và $AH$: $\frac{1}{2} \times SB \times AH$. - Độ dài $SB$ là $\sqrt{SA^2 + AB^2} = \sqrt{(a\sqrt{3})^2 + a^2} = \sqrt{3a^2 + a^2} = 2a$. - Vậy $\frac{1}{2} \times 2a \times AH = \frac{a^2\sqrt{3}}{2}$, suy ra $AH = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. - Tuy nhiên, ta cần kiểm tra lại vì đề bài yêu cầu $d(A, (SBC)) = \frac{\sqrt{3}}{3}a$. Điều này có thể do lỗi trong đề bài hoặc cách hiểu khác nhau về khoảng cách. c) Góc giữa $OM$ và mặt phẳng $(SAB)$ là $\alpha$, $\tan \alpha = \frac{1}{2}$ - Ta biết $O$ là tâm hình vuông $ABCD$, do đó $OA = OB = OC = OD = \frac{a\sqrt{2}}{2}$. - $M$ là trung điểm của $SA$, do đó $SM = MA = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. - Ta cần tìm góc giữa $OM$ và mặt phẳng $(SAB)$. - Trong tam giác $OMA$, ta có $OA = \frac{a\sqrt{2}}{2}$ và $MA = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. - Ta tính $OM$ bằng công thức Pythagoras trong tam giác $OMA$: - $OM = \sqrt{OA^2 + MA^2} = \sqrt{\left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2 + \left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{2a^2}{4} + \frac{3a^2}{4}} = \sqrt{\frac{5a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{5}}{2}$. - Góc giữa $OM$ và $(SAB)$ là góc giữa $OM$ và $OA$: - $\tan \alpha = \frac{MA}{OA} = \frac{\frac{a\sqrt{3}}{2}}{\frac{a\sqrt{2}}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}}{2}$. - Điều này không đúng với $\tan \alpha = \frac{1}{2}$, do đó có thể có lỗi trong đề bài hoặc cách hiểu khác nhau về góc. d) $\frac{V_{A.MOH}}{V_{S.ABCD}} = \frac{1}{8}$ - Ta cần tính thể tích của khối chóp $A.MOH$ và so sánh với thể tích của khối chóp $S.ABCD$. - Thể tích của khối chóp $S.ABCD$ là $\frac{1}{3} \times S_{ABCD} \times SA = \frac{1}{3} \times a^2 \times a\sqrt{3} = \frac{a^3\sqrt{3}}{3}$. - Thể tích của khối chóp $A.MOH$ là $\frac{1}{3} \times S_{MOH} \times AO$. - Ta cần tính diện tích tam giác $MOH$ và chiều cao $AO$. - Diện tích tam giác $MOH$ là $\frac{1}{2} \times OH \times MH$. - Ta cần tính $OH$ và $MH$: - $OH = \frac{a\sqrt{2}}{2}$ và $MH = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. - Diện tích tam giác $MOH$ là $\frac{1}{2} \times \frac{a\sqrt{2}}{2} \times \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a^2\sqrt{6}}{8}$. - Thể tích của khối chóp $A.MOH$ là $\frac{1}{3} \times \frac{a^2\sqrt{6}}{8} \times \frac{a\sqrt{2}}{2} = \frac{a^3\sqrt{3}}{24}$. - Tỷ lệ thể tích là $\frac{\frac{a^3\sqrt{3}}{24}}{\frac{a^3\sqrt{3}}{3}} = \frac{1}{8}$. Kết luận: - Đáp án đúng là: d) $\frac{V_{A.MOH}}{V_{S.ABCD}} = \frac{1}{8}$. Câu 4: Để giải quyết các mệnh đề trên, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định khoảng biến thiên Khoảng biến thiên của bảng số liệu là: \[ 22 - 12 = 10 (^0C) \] Vậy mệnh đề a) là đúng. Bước 2: Tính giá trị trung bình Giá trị trung bình của mẫu số liệu được tính bằng cách lấy tổng các giá trị nhân với tần suất tương ứng rồi chia cho tổng số lượng dữ liệu. \begin{align} \text{Giá trị trung bình} &= \frac{(13 \times 1) + (15 \times 3) + (17 \times 12) + (19 \times 9) + (21 \times 5)}{1 + 3 + 12 + 9 + 5} \\ &= \frac{13 + 45 + 204 + 171 + 105}{30} \\ &= \frac{538}{30} \\ &\approx 17,93 (^0C) \end{align} Vậy mệnh đề b) là sai vì giá trị trung bình làm tròn đến hàng đơn vị là 18 (^0C). Bước 3: Tính phương sai Phương sai của mẫu số liệu được tính bằng cách lấy tổng các bình phương của hiệu giữa mỗi giá trị và giá trị trung bình, nhân với tần suất tương ứng rồi chia cho tổng số lượng dữ liệu. \begin{align} \text{Phương sai} &= \frac{(13 - 17,93)^2 \times 1 + (15 - 17,93)^2 \times 3 + (17 - 17,93)^2 \times 12 + (19 - 17,93)^2 \times 9 + (21 - 17,93)^2 \times 5}{30} \\ &= \frac{(-4,93)^2 \times 1 + (-2,93)^2 \times 3 + (-0,93)^2 \times 12 + (1,07)^2 \times 9 + (3,07)^2 \times 5}{30} \\ &= \frac{24,3049 + 26,1123 + 10,9524 + 10,0449 + 47,1245}{30} \\ &= \frac{118,54}{30} \\ &\approx 3,95 (^0C)^2 \end{align} Vậy mệnh đề c) là đúng vì phương sai làm tròn đến hàng phần trăm là 3,95 (^0C)^2. Bước 4: Tính độ lệch chuẩn Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu là căn bậc hai của phương sai. \begin{align} \text{Độ lệch chuẩn} &= \sqrt{3,95} \\ &\approx 1,99 (^0C) \end{align} Vậy mệnh đề d) là sai vì độ lệch chuẩn làm tròn đến hàng phần trăm là 1,99 (^0C). Kết luận - Mệnh đề a) là đúng. - Mệnh đề b) là sai. - Mệnh đề c) là đúng. - Mệnh đề d) là sai. Câu 1: Để tìm vận tốc lớn nhất của vật trong khoảng thời gian 10 giây, chúng ta cần thực hiện các bước sau: 1. Tìm công thức của vận tốc: Vận tốc tức thời của vật là đạo hàm của quãng đường theo thời gian: \[ v(t) = \frac{dS}{dt} = \frac{d(-t^3 + 18t^2)}{dt} = -3t^2 + 36t \] 2. Tìm thời điểm mà vận tốc đạt cực đại: Để tìm thời điểm mà vận tốc đạt cực đại, chúng ta cần tìm đạo hàm của vận tốc và đặt nó bằng 0: \[ v'(t) = \frac{dv}{dt} = \frac{d(-3t^2 + 36t)}{dt} = -6t + 36 \] \[ -6t + 36 = 0 \] \[ t = 6 \] 3. Kiểm tra tính chất của cực đại: Chúng ta kiểm tra đạo hàm thứ hai của vận tốc: \[ v''(t) = \frac{d(-6t + 36)}{dt} = -6 \] Vì \( v''(t) < 0 \), nên tại \( t = 6 \) vận tốc đạt cực đại. 4. Tính vận tốc tại thời điểm \( t = 6 \): \[ v(6) = -3(6)^2 + 36(6) = -3(36) + 216 = -108 + 216 = 108 \] Vậy vận tốc lớn nhất của vật trong khoảng thời gian 10 giây là 108 m/s, đạt được khi \( t = 6 \) giây. Đáp số: Vận tốc lớn nhất của vật là 108 m/s, đạt được khi \( t = 6 \) giây.