cho tứ giác abcd có ac vuông góc với bd tại h và hb=hd gọi e và f lần lượt là trung điểm của ab,cd.qua e kẻ đường thẳng vuông góc với cd cắt bd tại i.CM i là trực tâm của tam giác hef và fi vuông góc v...

Để chứng minh rằng \( I \) là trực tâm của tam giác \( HEF \) và \( FI \) vuông góc với \( AD \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Chứng minh \( I \) là trực tâm của tam giác \( HEF \) - Ta biết rằng \( E \) và \( F \) lần lượt là trung điểm của \( AB \) và \( CD \). - \( AC \perp BD \) tại \( H \) và \( HB = HD \). Xét tam giác \( ABD \): - \( E \) là trung điểm của \( AB \), do đó \( HE \) là đường trung tuyến của tam giác \( AHB \). - Vì \( HB = HD \), tam giác \( BHD \) là tam giác cân tại \( H \), do đó \( HD \) là đường cao hạ từ đỉnh \( H \) xuống đáy \( BD \). Xét tam giác \( CDB \): - \( F \) là trung điểm của \( CD \), do đó \( HF \) là đường trung tuyến của tam giác \( CHD \). Xét tam giác \( EBF \): - \( E \) và \( F \) là trung điểm của \( AB \) và \( CD \), do đó \( EF \) song song với \( AD \) (theo định lý đường trung bình trong tam giác). Xét tam giác \( HEF \): - \( I \) là giao điểm của đường thẳng qua \( E \) vuông góc với \( CD \) và \( BD \). - Vì \( EF \parallel AD \), đường thẳng qua \( E \) vuông góc với \( CD \) cũng vuông góc với \( AD \). Do đó, \( I \) là giao điểm của ba đường cao của tam giác \( HEF \), tức là \( I \) là trực tâm của tam giác \( HEF \). 2. Chứng minh \( FI \perp AD \) - Ta đã chứng minh rằng \( I \) là trực tâm của tam giác \( HEF \), do đó \( FI \) là đường cao hạ từ đỉnh \( F \) xuống đáy \( HE \). - Vì \( EF \parallel AD \), đường thẳng qua \( E \) vuông góc với \( CD \) cũng vuông góc với \( AD \). Do đó, \( FI \perp AD \). Kết luận: - \( I \) là trực tâm của tam giác \( HEF \). - \( FI \perp AD \).