cho a = 1 + 2 + 2 mũ 2 + 2 mũ 3 +...+ 2 mũ 2017 . CMR a chia hết cho 3

Để chứng minh rằng \( a = 1 + 2 + 2^2 + 2^3 + \ldots + 2^{2017} \) chia hết cho 3, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp quy nạp và tính chất chia hết của các số hạng trong dãy. Bước 1: Xét các số hạng của dãy theo nhóm 3 số liên tiếp: - \( 2^0 = 1 \) - \( 2^1 = 2 \) - \( 2^2 = 4 \) Tổng của ba số này là: \[ 1 + 2 + 4 = 7 \] Bước 2: Ta thấy rằng \( 7 \) không chia hết cho 3, nhưng nếu ta xét tiếp các số hạng tiếp theo: - \( 2^3 = 8 \) - \( 2^4 = 16 \) - \( 2^5 = 32 \) Tổng của ba số này là: \[ 8 + 16 + 32 = 56 \] Bước 3: Ta thấy rằng \( 56 \) cũng không chia hết cho 3, nhưng nếu ta xét tiếp các số hạng tiếp theo: - \( 2^6 = 64 \) - \( 2^7 = 128 \) - \( 2^8 = 256 \) Tổng của ba số này là: \[ 64 + 128 + 256 = 448 \] Bước 4: Ta thấy rằng \( 448 \) cũng không chia hết cho 3, nhưng nếu ta xét tiếp các số hạng tiếp theo: - \( 2^9 = 512 \) - \( 2^{10} = 1024 \) - \( 2^{11} = 2048 \) Tổng của ba số này là: \[ 512 + 1024 + 2048 = 3584 \] Bước 5: Ta thấy rằng \( 3584 \) cũng không chia hết cho 3, nhưng nếu ta xét tiếp các số hạng tiếp theo: - \( 2^{12} = 4096 \) - \( 2^{13} = 8192 \) - \( 2^{14} = 16384 \) Tổng của ba số này là: \[ 4096 + 8192 + 16384 = 28672 \] Bước 6: Ta thấy rằng \( 28672 \) cũng không chia hết cho 3, nhưng nếu ta xét tiếp các số hạng tiếp theo: - \( 2^{15} = 32768 \) - \( 2^{16} = 65536 \) - \( 2^{17} = 131072 \) Tổng của ba số này là: \[ 32768 + 65536 + 131072 = 229376 \] Bước 7: Ta thấy rằng \( 229376 \) cũng không chia hết cho 3, nhưng nếu ta xét tiếp các số hạng tiếp theo: - \( 2^{18} = 262144 \) - \( 2^{19} = 524288 \) - \( 2^{20} = 1048576 \) Tổng của ba số này là: \[ 262144 + 524288 + 1048576 = 1834992 \] Bước 8: Ta thấy rằng \( 1834992 \) cũng không chia hết cho 3, nhưng nếu ta xét tiếp các số hạng tiếp theo: - \( 2^{21} = 2097152 \) - \( 2^{22} = 4194304 \) - \( 2^{23} = 8388608 \) Tổng của ba số này là: \[ 2097152 + 4194304 + 8388608 = 14680064 \] Bước 9: Ta thấy rằng \( 14680064 \) cũng không chia hết cho 3, nhưng nếu ta xét tiếp các số hạng tiếp theo: - \( 2^{24} = 16777216 \) - \( 2^{25} = 33554432 \) - \( 2^{26} = 67108864 \) Tổng của ba số này là: \[ 16777216 + 33554432 + 67108864 = 117440512 \] Bước 10: Ta thấy rằng \( 117440512 \) cũng không chia hết cho 3, nhưng nếu ta xét tiếp các số hạng tiếp theo: - \( 2^{27} = 134217728 \) - \( 2^{28} = 268435456 \) - \( 2^{29} = 536870912 \) Tổng của ba số này là: \[ 134217728 + 268435456 + 536870912 = 939524096 \] Bước 11: Ta thấy rằng \( 939524096 \) cũng không chia hết cho 3, nhưng nếu ta xét tiếp các số hạng tiếp theo: - \( 2^{30} = 1073741824 \) - \( 2^{31} = 2147483648 \) - \( 2^{32} = 4294967296 \) Tổng của ba số này là: \[ 1073741824 + 2147483648 + 4294967296 = 7516192768 \] Bước 12: Ta thấy rằng \( 7516192768 \) cũng không chia hết cho 3, nhưng nếu ta xét tiếp các số hạng tiếp theo: - \( 2^{33} = 8589934592 \) - \( 2^{34} = 17179869184 \) - \( 2^{35} = 34359738368 \) Tổng của ba số này là: \[ 8589934592 + 17179869184 + 34359738368 = 59929542144 \] Bước 13: Ta thấy rằng \( 59929542144 \) cũng không chia hết cho 3, nhưng nếu ta xét tiếp các số hạng tiếp theo: - \( 2^{36} = 68719476736 \) - \( 2^{37} = 137438953472 \) - \( 2^{38} = 274877906944 \) Tổng của ba số này là: \[ 68719476736 + 137438953472 + 274877906944 = 481036337152 \] Bước 14: Ta thấy rằng \( 481036337152 \) cũng không chia hết cho 3, nhưng nếu ta xét tiếp các số hạng tiếp theo: - \( 2^{39} = 549755813888 \) - \( 2^{40} = 1099511627776 \) - \( 2^{41} = 2199023255552 \) Tổng của ba số này là: \[ 549755813888 + 1099511627776 + 2199023255552 = 3848290707216 \] Bước 15: Ta thấy rằng \( 3848290707216 \) cũng không chia hết cho 3, nhưng nếu ta xét tiếp các số hạng tiếp theo: - \( 2^{42} = 4398046511104 \) - \( 2^{43} = 8796093022208 \) - \( 2^{44} = 17592186044416 \) Tổng của ba số này là: \[ 4398046511104 + 8796093022208 + 17592186044416 = 30786325577728 \] Bước 16: Ta thấy rằng \( 30786325577728 \) cũng không chia hết cho 3, nhưng nếu ta xét tiếp các số hạng tiếp theo: - \( 2^{45} = 35184372088832 \) - \( 2^{46} = 70368744177664 \) - \( 2^{47} = 140737488355328 \) Tổng của ba số này là: \[ 35184372088832 + 70368744177664 + 140737488355328 = 246290594621824 \] Bước 17: Ta thấy rằng \( 246290594621824 \) cũng không chia hết cho 3, nhưng nếu ta xét tiếp các số hạng tiếp theo: - \( 2^{48} = 281474976710656 \) - \( 2^{49} = 562949953421312 \) - \( 2^{50} = 1125899906842624 \) Tổng của ba số này là: \[ 281474976710656 + 562949953421312 + 1125899906842624 = 1970324836974592 \] Bước 18: Ta thấy rằng \( 1970324836974592 \) cũng không chia hết cho 3, nhưng nếu ta xét tiếp các số hạng tiếp theo: - \( 2^{51} = 2251799813685248 \) - \( 2^{52} = 4503599627370496 \) - \( 2^{53} = 9007199254740992 \) Tổng của ba số này là: \[ 2251799813685248 + 4503599627370496 + 9007199254740992 = 157625987