giải ngắn gọn

Câu 17. Để hàm số $y=\frac{mx}{\sqrt{x-m+2}-1}$ xác định trên khoảng $(0;1)$, ta cần đảm bảo rằng mẫu số $\sqrt{x-m+2}-1$ khác 0 và biểu thức dưới dấu căn lớn hơn 0. Bước 1: Xét điều kiện để biểu thức dưới dấu căn lớn hơn 0: \[ x - m + 2 > 0 \] \[ x > m - 2 \] Bước 2: Xét điều kiện để mẫu số khác 0: \[ \sqrt{x-m+2} - 1 \neq 0 \] \[ \sqrt{x-m+2} \neq 1 \] \[ x - m + 2 \neq 1 \] \[ x \neq m - 1 \] Bước 3: Kết hợp các điều kiện trên: - Điều kiện $x > m - 2$ phải đúng với mọi $x \in (0;1)$. - Điều kiện $x \neq m - 1$ cũng phải đúng với mọi $x \in (0;1)$. Ta xét lần lượt từng điều kiện này: 1. Điều kiện $x > m - 2$: Vì $x \in (0;1)$, nên ta cần $m - 2 \leq 0$. Do đó: \[ m \leq 2 \] 2. Điều kiện $x \neq m - 1$: Vì $x \in (0;1)$, nên ta cần $m - 1$ nằm ngoài khoảng $(0;1)$. Do đó: \[ m - 1 \leq 0 \quad \text{hoặc} \quad m - 1 \geq 1 \] \[ m \leq 1 \quad \text{hoặc} \quad m \geq 2 \] Kết hợp cả hai điều kiện trên, ta có: \[ m \leq 1 \] Vậy, để hàm số $y=\frac{mx}{\sqrt{x-m+2}-1}$ xác định trên khoảng $(0;1)$, thì $m$ phải thỏa mãn điều kiện: \[ m \leq 1 \] Đáp số: $m \leq 1$. Câu 18. Để hàm số $y=f(x)=\sqrt{x^2-3mx+4}$ có tập xác định là $D=\mathbb R$, ta cần điều kiện là biểu thức dưới dấu căn phải không âm với mọi giá trị của $x$. Biểu thức dưới dấu căn là $x^2 - 3mx + 4$. Ta cần tìm điều kiện của $m$ sao cho $x^2 - 3mx + 4 \geq 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$. Để một tam thức bậc hai $ax^2 + bx + c$ luôn không âm với mọi $x$, điều kiện cần và đủ là: 1. Hệ số $a > 0$ (điều này đã thoả mãn vì $a = 1 > 0$). 2. Đĩa biệt $\Delta \leq 0$. Ta tính đĩa biệt $\Delta$ của tam thức $x^2 - 3mx + 4$: \[ \Delta = (-3m)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 9m^2 - 16 \] Để tam thức luôn không âm, ta cần: \[ 9m^2 - 16 \leq 0 \] Giải bất phương trình này: \[ 9m^2 \leq 16 \] \[ m^2 \leq \frac{16}{9} \] \[ |m| \leq \frac{4}{3} \] Vậy $m$ thuộc khoảng: \[ -\frac{4}{3} \leq m \leq \frac{4}{3} \] Kết luận: Để hàm số $y=f(x)=\sqrt{x^2-3mx+4}$ có tập xác định là $D=\mathbb R$, thì $m$ phải thỏa mãn điều kiện: \[ -\frac{4}{3} \leq m \leq \frac{4}{3} \] Câu 19. Để hàm số $y=(x-2)\sqrt{3x-m-1}$ xác định trên tập $(1;+\infty)$, ta cần đảm bảo rằng biểu thức dưới dấu căn $\sqrt{3x-m-1}$ không âm trên toàn bộ khoảng $(1;+\infty)$. Bước 1: Xét điều kiện của căn thức: \[ 3x - m - 1 \geq 0 \] Bước 2: Giải bất phương trình trên: \[ 3x \geq m + 1 \] \[ x \geq \frac{m + 1}{3} \] Bước 3: Để hàm số xác định trên $(1;+\infty)$, ta cần: \[ \frac{m + 1}{3} \leq 1 \] Bước 4: Giải bất phương trình này: \[ m + 1 \leq 3 \] \[ m \leq 2 \] Vậy, để hàm số $y=(x-2)\sqrt{3x-m-1}$ xác định trên tập $(1;+\infty)$, điều kiện của $m$ là: \[ m \leq 2 \]