Trả lời câu sau:

Câu 42. Để xác định khoảng nghịch biến của hàm số \( y = \frac{1}{3}x^3 - x^2 - 3x + 2019 \), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số: \[ y' = \left(\frac{1}{3}x^3 - x^2 - 3x + 2019\right)' = x^2 - 2x - 3 \] Bước 2: Tìm các điểm cực trị bằng cách giải phương trình đạo hàm bằng 0: \[ x^2 - 2x - 3 = 0 \] Phương trình này có dạng \( ax^2 + bx + c = 0 \), ta sử dụng công thức nghiệm: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Ở đây, \( a = 1 \), \( b = -2 \), \( c = -3 \): \[ x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{2 \pm 4}{2} \] Do đó, ta có hai nghiệm: \[ x_1 = \frac{2 + 4}{2} = 3 \] \[ x_2 = \frac{2 - 4}{2} = -1 \] Bước 3: Xác định dấu của đạo hàm \( y' \) trên các khoảng giữa các nghiệm: - Trên khoảng \( (-\infty, -1) \), chọn \( x = -2 \): \[ y'(-2) = (-2)^2 - 2(-2) - 3 = 4 + 4 - 3 = 5 > 0 \] - Trên khoảng \( (-1, 3) \), chọn \( x = 0 \): \[ y'(0) = 0^2 - 2(0) - 3 = -3 < 0 \] - Trên khoảng \( (3, +\infty) \), chọn \( x = 4 \): \[ y'(4) = 4^2 - 2(4) - 3 = 16 - 8 - 3 = 5 > 0 \] Bước 4: Kết luận khoảng nghịch biến: Hàm số nghịch biến khi đạo hàm \( y' < 0 \). Do đó, hàm số nghịch biến trên khoảng \( (-1, 3) \). Vậy đáp án đúng là: A. \( (-1; 3) \) Câu 43. Ta sẽ kiểm tra từng mệnh đề một: A. $\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DA} - \overrightarrow{DC}$ - Ta có $\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AC}$. - Ta cũng có $\overrightarrow{DA} - \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{CA}$. Như vậy, $\overrightarrow{AC} \neq \overrightarrow{CA}$, nên mệnh đề A sai. B. $\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BD} - \overrightarrow{BC}$ - Ta có $\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{DC}$. - Ta cũng có $\overrightarrow{BD} - \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{CD}$. Như vậy, $\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{CD}$, nên mệnh đề B đúng. C. $\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{DB} - \overrightarrow{DC}$ - Ta có $\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{CB}$. - Ta cũng có $\overrightarrow{DB} - \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{CB}$. Như vậy, $\overrightarrow{CB} = \overrightarrow{CB}$, nên mệnh đề C đúng. D. $\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{BC}$ - Ta có $\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{DB}$. - Ta cũng có $\overrightarrow{CD} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{BD}$. Như vậy, $\overrightarrow{DB} = \overrightarrow{BD}$, nên mệnh đề D đúng. Tuy nhiên, trong các lựa chọn, chỉ có một đáp án đúng. Do đó, ta cần kiểm tra lại để đảm bảo tính chính xác. Kết luận: Mệnh đề đúng là C. $\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{DB} - \overrightarrow{DC}$. Đáp án: C. Câu 44. Để tìm khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm, chúng ta cần thực hiện các bước sau: 1. Tính tổng số lượng quãng đường: Tổng số ngày = 3 + 6 + 5 + 4 + 2 = 20 ngày 2. Xác định vị trí của Q1 và Q3: - Vị trí của Q1: \( \frac{20}{4} = 5 \) - Vị trí của Q3: \( \frac{3 \times 20}{4} = 15 \) 3. Xác định khoảng chứa Q1 và Q3: - Khoảng chứa Q1: [3,0; 3,3) vì 5 nằm trong khoảng từ 3 đến 8 (tổng các ngày trước đó là 3). - Khoảng chứa Q3: [3,6; 3,9) vì 15 nằm trong khoảng từ 14 đến 18 (tổng các ngày trước đó là 14). 4. Áp dụng công thức tính Q1 và Q3: - Công thức chung: \( Q = L + \left( \frac{\frac{n}{4} - F}{f} \right) \times w \) - \( L \) là giới hạn dưới của khoảng chứa Q. - \( n \) là tổng số lượng. - \( F \) là tổng tần số của các khoảng trước đó. - \( f \) là tần số của khoảng chứa Q. - \( w \) là độ rộng của khoảng. - Tính Q1: \( Q1 = 3,0 + \left( \frac{5 - 3}{6} \right) \times 0,3 = 3,0 + \left( \frac{2}{6} \right) \times 0,3 = 3,0 + 0,1 = 3,1 \) - Tính Q3: \( Q3 = 3,6 + \left( \frac{15 - 14}{4} \right) \times 0,3 = 3,6 + \left( \frac{1}{4} \right) \times 0,3 = 3,6 + 0,075 = 3,675 \) 5. Tính khoảng tứ phân vị: Khoảng tứ phân vị = Q3 - Q1 = 3,675 - 3,1 = 0,575 Vậy đáp án đúng là: D. 0,575 Câu 45. Ta sẽ kiểm tra từng đẳng thức vectơ để xác định đẳng thức nào là đúng. A. $\overrightarrow{AC'} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AB'} + \overrightarrow{AD}$ - Ta có $\overrightarrow{AC'} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC'}$ - Mặt khác, $\overrightarrow{BC'} = \overrightarrow{BB'} + \overrightarrow{B'C'} = \overrightarrow{AB'} + \overrightarrow{AD}$ - Do đó, $\overrightarrow{AC'} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AB'} + \overrightarrow{AD}$ Đẳng thức này đúng. B. $\overrightarrow{DB'} = \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{DD'} + \overrightarrow{DC}$ - Ta có $\overrightarrow{DB'} = \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{AB'}$ - Mặt khác, $\overrightarrow{AB'} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DB'}$ - Do đó, $\overrightarrow{DB'} = \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{DD'} + \overrightarrow{DC}$ Đẳng thức này sai vì $\overrightarrow{AB'}$ không bằng $\overrightarrow{DD'} + \overrightarrow{DC}$. C. $\overrightarrow{AC'} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}$ - Ta có $\overrightarrow{AC'} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CC'}$ - Mặt khác, $\overrightarrow{CC'} = \overrightarrow{DD'}$ - Do đó, $\overrightarrow{AC'} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{DD'}$ Đẳng thức này sai vì $\overrightarrow{AC'}$ không bằng $\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}$. D. $\overrightarrow{DB} = \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{DD'} + \overrightarrow{DC}$ - Ta có $\overrightarrow{DB} = \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{AB}$ - Mặt khác, $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DB}$ - Do đó, $\overrightarrow{DB} = \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DB}$ Đẳng thức này sai vì $\overrightarrow{DB}$ không bằng $\overrightarrow{DA} + \overrightarrow{DD'} + \overrightarrow{DC}$. Vậy đẳng thức vectơ đúng là: A. $\overrightarrow{AC'} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AB'} + \overrightarrow{AD}$ Câu 46. Để tìm vận tốc lớn nhất của vật trong khoảng thời gian 10 giây, chúng ta cần thực hiện các bước sau: 1. Tìm công thức vận tốc: Vận tốc tức thời của vật là đạo hàm của quãng đường theo thời gian. Do đó, ta tính đạo hàm của \( s \): \[ v(t) = \frac{ds}{dt} = -6t^2 + 48t + 9 \] 2. Tìm cực đại của hàm số vận tốc: Để tìm vận tốc lớn nhất, ta cần tìm điểm cực đại của hàm số \( v(t) \). Ta tính đạo hàm của \( v(t) \): \[ v'(t) = -12t + 48 \] Đặt \( v'(t) = 0 \) để tìm điểm cực đại: \[ -12t + 48 = 0 \implies t = 4 \] 3. Kiểm tra điều kiện thời gian: Vì ta chỉ quan tâm đến khoảng thời gian từ 0 đến 10 giây, ta cần kiểm tra giá trị của \( v(t) \) tại các điểm \( t = 0 \), \( t = 4 \), và \( t = 10 \). 4. Tính giá trị của \( v(t) \) tại các điểm này: \[ v(0) = -6(0)^2 + 48(0) + 9 = 9 \] \[ v(4) = -6(4)^2 + 48(4) + 9 = -6(16) + 192 + 9 = -96 + 192 + 9 = 105 \] \[ v(10) = -6(10)^2 + 48(10) + 9 = -6(100) + 480 + 9 = -600 + 480 + 9 = -111 \] 5. So sánh các giá trị để tìm giá trị lớn nhất: Các giá trị của \( v(t) \) tại các điểm là: \[ v(0) = 9, \quad v(4) = 105, \quad v(10) = -111 \] Trong các giá trị này, giá trị lớn nhất là 105. Do đó, vận tốc lớn nhất của vật trong khoảng thời gian 10 giây là \( 105 \, m/s \). Đáp án đúng là: B. 105 (m/s). Câu 47. Để xác định hàm số nào không phải là nguyên hàm của \( f(x) = \sqrt[3]{x} \) trên khoảng \( (0; +\infty) \), ta sẽ kiểm tra đạo hàm của mỗi hàm số đã cho để xem liệu chúng có bằng \( f(x) \) hay không. A. \( F_1(x) = \frac{3\sqrt[3]{x^4}}{4} + 1 \) Tính đạo hàm của \( F_1(x) \): \[ F_1'(x) = \left( \frac{3\sqrt[3]{x^4}}{4} + 1 \right)' = \frac{3}{4} \cdot \left( x^{\frac{4}{3}} \right)' = \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} - 1} = x^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{x} \] B. \( F_3(x) = \frac{3x\sqrt[3]{x}}{4} + 3 \) Tính đạo hàm của \( F_3(x) \): \[ F_3'(x) = \left( \frac{3x\sqrt[3]{x}}{4} + 3 \right)' = \frac{3}{4} \cdot \left( x \cdot x^{\frac{1}{3}} \right)' = \frac{3}{4} \cdot \left( x^{\frac{4}{3}} \right)' = \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} - 1} = x^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{x} \] C. \( F_4(x) = \frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + 4 \) Tính đạo hàm của \( F_4(x) \): \[ F_4'(x) = \left( \frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + 4 \right)' = \frac{3}{4} \cdot \left( x^{\frac{4}{3}} \right)' = \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} - 1} = x^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{x} \] D. \( F_2(x) = \frac{3\sqrt[4]{x^3}}{4} + 2 \) Tính đạo hàm của \( F_2(x) \): \[ F_2'(x) = \left( \frac{3\sqrt[4]{x^3}}{4} + 2 \right)' = \frac{3}{4} \cdot \left( x^{\frac{3}{4}} \right)' = \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{4} x^{\frac{3}{4} - 1} = \frac{9}{16} x^{-\frac{1}{4}} \neq \sqrt[3]{x} \] Như vậy, hàm số \( F_2(x) = \frac{3\sqrt[4]{x^3}}{4} + 2 \) không phải là nguyên hàm của \( f(x) = \sqrt[3]{x} \). Đáp án đúng là: D. \( F_2(x) = \frac{3\sqrt[4]{x^3}}{4} + 2 \). Câu 48. Ta sẽ kiểm tra từng biểu thức một để xác định biểu thức nào đúng. A. $\overrightarrow{A^\prime D} = \overrightarrow{A^\prime B^\prime} + \overrightarrow{A^\prime C}$ - $\overrightarrow{A^\prime D}$ là vectơ từ đỉnh $A'$ đến đỉnh $D$. - $\overrightarrow{A^\prime B^\prime}$ là vectơ từ đỉnh $A'$ đến đỉnh $B'$. - $\overrightarrow{A^\prime C}$ là vectơ từ đỉnh $A'$ đến đỉnh $C$. Biểu thức này không đúng vì $\overrightarrow{A^\prime D}$ không thể được viết dưới dạng tổng của $\overrightarrow{A^\prime B^\prime}$ và $\overrightarrow{A^\prime C}$. B. $\overrightarrow{AB^\prime} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AA^\prime} + \overrightarrow{AD}$ - $\overrightarrow{AB^\prime}$ là vectơ từ đỉnh $A$ đến đỉnh $B'$. - $\overrightarrow{AB}$ là vectơ từ đỉnh $A$ đến đỉnh $B$. - $\overrightarrow{AA^\prime}$ là vectơ từ đỉnh $A$ đến đỉnh $A'$. - $\overrightarrow{AD}$ là vectơ từ đỉnh $A$ đến đỉnh $D$. Biểu thức này không đúng vì $\overrightarrow{AB^\prime}$ không thể được viết dưới dạng tổng của $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AA^\prime}$ và $\overrightarrow{AD}$. C. $\overrightarrow{AC^\prime} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AA^\prime} + \overrightarrow{AD}$ - $\overrightarrow{AC^\prime}$ là vectơ từ đỉnh $A$ đến đỉnh $C'$. - $\overrightarrow{AB}$ là vectơ từ đỉnh $A$ đến đỉnh $B$. - $\overrightarrow{AA^\prime}$ là vectơ từ đỉnh $A$ đến đỉnh $A'$. - $\overrightarrow{AD}$ là vectơ từ đỉnh $A$ đến đỉnh $D$. Biểu thức này đúng vì $\overrightarrow{AC^\prime}$ có thể được viết dưới dạng tổng của $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AA^\prime}$ và $\overrightarrow{AD}$. D. $\overrightarrow{AD^\prime} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AC^\prime}$ - $\overrightarrow{AD^\prime}$ là vectơ từ đỉnh $A$ đến đỉnh $D'$. - $\overrightarrow{AB}$ là vectơ từ đỉnh $A$ đến đỉnh $B$. - $\overrightarrow{AD}$ là vectơ từ đỉnh $A$ đến đỉnh $D$. - $\overrightarrow{AC^\prime}$ là vectơ từ đỉnh $A$ đến đỉnh $C'$. Biểu thức này không đúng vì $\overrightarrow{AD^\prime}$ không thể được viết dưới dạng tổng của $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AD}$ và $\overrightarrow{AC^\prime}$. Vậy biểu thức đúng là: Đáp án: C. $\overrightarrow{AC^\prime} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AA^\prime} + \overrightarrow{AD}$. Câu 49. Để tính phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm, ta thực hiện các bước sau: 1. Tính trung bình cộng của mẫu số liệu. 2. Tính khoảng cách giữa mỗi giá trị trung tâm của nhóm và trung bình cộng. 3. Tính bình phương của khoảng cách này. 4. Nhân bình phương của khoảng cách với tần số của nhóm đó. 5. Cộng tất cả các kết quả trên lại và chia cho tổng số lượng mẫu. Bước 1: Tính trung bình cộng của mẫu số liệu Ta tính trung bình cộng của mẫu số liệu theo công thức: \[ \bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{k} f_i x_i}{\sum_{i=1}^{k} f_i} \] Trong đó: - \( f_i \) là tần số của nhóm thứ i. - \( x_i \) là giá trị trung tâm của nhóm thứ i. Tính giá trị trung tâm của mỗi nhóm: - Nhóm [20; 25): Giá trị trung tâm là \( x_1 = 22,5 \) - Nhóm [25; 30): Giá trị trung tâm là \( x_2 = 27,5 \) - Nhóm [30; 35): Giá trị trung tâm là \( x_3 = 32,5 \) - Nhóm [35; 40): Giá trị trung tâm là \( x_4 = 37,5 \) - Nhóm [40; 45): Giá trị trung tâm là \( x_5 = 42,5 \) Tính trung bình cộng: \[ \bar{x} = \frac{(6 \times 22,5) + (6 \times 27,5) + (4 \times 32,5) + (1 \times 37,5) + (1 \times 42,5)}{6 + 6 + 4 + 1 + 1} \] \[ \bar{x} = \frac{135 + 165 + 130 + 37,5 + 42,5}{18} \] \[ \bar{x} = \frac{510}{18} \] \[ \bar{x} = 28,33 \] Bước 2: Tính khoảng cách giữa mỗi giá trị trung tâm của nhóm và trung bình cộng \[ d_1 = 22,5 - 28,33 = -5,83 \] \[ d_2 = 27,5 - 28,33 = -0,83 \] \[ d_3 = 32,5 - 28,33 = 4,17 \] \[ d_4 = 37,5 - 28,33 = 9,17 \] \[ d_5 = 42,5 - 28,33 = 14,17 \] Bước 3: Tính bình phương của khoảng cách này \[ d_1^2 = (-5,83)^2 = 33,99 \] \[ d_2^2 = (-0,83)^2 = 0,69 \] \[ d_3^2 = (4,17)^2 = 17,39 \] \[ d_4^2 = (9,17)^2 = 84,09 \] \[ d_5^2 = (14,17)^2 = 200,80 \] Bước 4: Nhân bình phương của khoảng cách với tần số của nhóm đó \[ f_1 d_1^2 = 6 \times 33,99 = 203,94 \] \[ f_2 d_2^2 = 6 \times 0,69 = 4,14 \] \[ f_3 d_3^2 = 4 \times 17,39 = 69,56 \] \[ f_4 d_4^2 = 1 \times 84,09 = 84,09 \] \[ f_5 d_5^2 = 1 \times 200,80 = 200,80 \] Bước 5: Cộng tất cả các kết quả trên lại và chia cho tổng số lượng mẫu \[ S^2 = \frac{203,94 + 4,14 + 69,56 + 84,09 + 200,80}{18} \] \[ S^2 = \frac{562,53}{18} \] \[ S^2 = 31,25 \] Vậy phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm gần nhất với giá trị 31,25. Do đó, đáp án đúng là: D. 31,44.