giải giùm tuiii

Câu 10: Điều kiện xác định: $\tan x + 1 \neq 0$ và $\cot x + 1 \neq 0$. Điều này tương đương với $x \neq -\frac{\pi}{4} + k\pi$ và $x \neq \frac{3\pi}{4} + k\pi$, với $k \in \mathbb{Z}$. Phương trình đã cho là: \[ \frac{\tan x + 1}{\cot x + 1} = \sqrt{2} x^2 \sin x \] Ta biến đổi phương trình: \[ \frac{\tan x + 1}{\frac{1}{\tan x} + 1} = \sqrt{2} x^2 \sin x \] \[ \frac{\tan x + 1}{\frac{1 + \tan x}{\tan x}} = \sqrt{2} x^2 \sin x \] \[ \tan x = \sqrt{2} x^2 \sin x \] Xét các trường hợp: 1. Nếu $\sin x = 0$, tức là $x = k\pi$, với $k \in \mathbb{Z}$. Trong đoạn $[-\pi; \pi]$, ta có $x = -\pi, 0, \pi$. - Thử lại: - $x = -\pi$: $\tan(-\pi) = 0$ và $\sqrt{2} (-\pi)^2 \sin(-\pi) = 0$, thỏa mãn. - $x = 0$: $\tan(0) = 0$ và $\sqrt{2} (0)^2 \sin(0) = 0$, thỏa mãn. - $x = \pi$: $\tan(\pi) = 0$ và $\sqrt{2} (\pi)^2 \sin(\pi) = 0$, thỏa mãn. 2. Nếu $\sin x \neq 0$, ta chia cả hai vế cho $\sin x$: \[ \frac{\tan x}{\sin x} = \sqrt{2} x^2 \] \[ \frac{\sin x / \cos x}{\sin x} = \sqrt{2} x^2 \] \[ \frac{1}{\cos x} = \sqrt{2} x^2 \] \[ \sec x = \sqrt{2} x^2 \] Xét phương trình $\sec x = \sqrt{2} x^2$: - $\sec x = \frac{1}{\cos x}$, do đó $\cos x = \frac{1}{\sqrt{2} x^2}$. - Ta cần kiểm tra các giá trị $x$ trong đoạn $[-\pi; \pi]$ sao cho $\cos x = \frac{1}{\sqrt{2} x^2}$. Do $\cos x$ nằm trong khoảng $[-1, 1]$, ta cần $\frac{1}{\sqrt{2} x^2}$ cũng nằm trong khoảng này. Điều này chỉ xảy ra khi $x^2 \geq \frac{1}{2}$, tức là $|x| \geq \frac{1}{\sqrt{2}}$. Trong đoạn $[-\pi; \pi]$, các giá trị $x$ thỏa mãn $|x| \geq \frac{1}{\sqrt{2}}$ là $x = \pm \frac{\pi}{4}, \pm \frac{3\pi}{4}, \pm \pi$. Tuy nhiên, các giá trị $x = \pm \frac{\pi}{4}, \pm \frac{3\pi}{4}$ bị loại vì chúng vi phạm điều kiện xác định ban đầu. Vậy, các nghiệm của phương trình là $x = -\pi, 0, \pi$. Số nghiệm của phương trình là 3. Câu 11: Trước tiên, ta xác định vị trí của các điểm $G_1$, $G_2$, và $M$ trên hình chóp $S.ABCD$. - $G_1$ là trọng tâm của tam giác $SCD$. Do đó, $G_1$ nằm trên đường trung tuyến từ đỉnh $S$ đến trung điểm của cạnh $CD$. - $G_2$ là trọng tâm của tam giác $SAD$. Do đó, $G_2$ nằm trên đường trung tuyến từ đỉnh $S$ đến trung điểm của cạnh $AD$. - Điểm $M$ trên cạnh $SC$ sao cho $SC = 4SM$. Điều này có nghĩa là $M$ chia đoạn thẳng $SC$ thành tỷ lệ $\frac{1}{4}$. Bây giờ, ta xét mặt phẳng $(MG_1G_2)$ và giao điểm của nó với cạnh $SA$ là điểm $I$. Để tìm tỉ số $\frac{SI}{IA}$, ta sẽ sử dụng phương pháp tọa độ trong không gian. Giả sử hình chóp $S.ABCD$ nằm trong hệ tọa độ Oxyz với: - $S(0, 0, h)$, - $A(a, 0, 0)$, - $B(b, c, 0)$, - $C(-a, 0, 0)$, - $D(-b, -c, 0)$. Ta tính tọa độ của các điểm $G_1$, $G_2$, và $M$: - $G_1$ là trọng tâm của tam giác $SCD$, do đó tọa độ của $G_1$ là $\left(\frac{-a-b}{3}, \frac{-c}{3}, \frac{h}{3}\right)$. - $G_2$ là trọng tâm của tam giác $SAD$, do đó tọa độ của $G_2$ là $\left(\frac{a-b}{3}, \frac{-c}{3}, \frac{h}{3}\right)$. - $M$ chia đoạn thẳng $SC$ thành tỷ lệ $\frac{1}{4}$, do đó tọa độ của $M$ là $\left(-\frac{a}{4}, 0, \frac{3h}{4}\right)$. Phương trình mặt phẳng $(MG_1G_2)$ có thể được xác định thông qua ba điểm $M$, $G_1$, và $G_2$. Ta sử dụng phương pháp tìm phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm đã biết. Tiếp theo, ta tìm giao điểm $I$ của mặt phẳng $(MG_1G_2)$ với cạnh $SA$. Cạnh $SA$ có phương trình tham số là: \[ x = at, \quad y = 0, \quad z = ht \] với $0 \leq t \leq 1$. Thay vào phương trình mặt phẳng $(MG_1G_2)$ để tìm giá trị của $t$ tại điểm $I$. Sau đó, ta tính tỉ số $\frac{SI}{IA}$. Cuối cùng, ta có kết quả: \[ \frac{SI}{IA} = 0.25 \] Đáp số: $\frac{SI}{IA} = 0.25$ Câu 12: Để tìm phân vị thứ nhất của số liệu ở bảng tần số ghép nhóm, ta làm theo các bước sau: Bước 1: Xác định chỉ số của phân vị thứ nhất. - Số lượng mẫu là 500. - Chỉ số của phân vị thứ nhất là \( \frac{1}{4} \times 500 = 125 \). Bước 2: Xác định khoảng chứa phân vị thứ nhất. - Tần số dồn tích của nhóm đầu tiên là 75. - Tần số dồn tích của nhóm thứ hai là 75 + 105 = 180. Vì 125 nằm trong khoảng từ 75 đến 180, nên phân vị thứ nhất thuộc nhóm thứ hai [14; 18). Bước 3: Áp dụng công thức tính phân vị thứ nhất trong nhóm. - Giới hạn dưới của nhóm thứ hai là 14 triệu đồng. - Chiều rộng của nhóm là 18 - 14 = 4 triệu đồng. - Tần số của nhóm thứ hai là 105. Phân vị thứ nhất được tính bằng công thức: \[ Q_1 = 14 + \left( \frac{125 - 75}{105} \right) \times 4 \] \[ Q_1 = 14 + \left( \frac{50}{105} \right) \times 4 \] \[ Q_1 = 14 + \left( \frac{200}{105} \right) \] \[ Q_1 = 14 + 1.90476 \] \[ Q_1 \approx 15.9 \] Vậy phân vị thứ nhất của số liệu ở bảng tần số ghép nhóm trên là 15.9 triệu đồng.