giải chi tiết

Để giải quyết các câu hỏi trên, chúng ta sẽ thực hiện từng bước một. a) Chiều cao tối đa của cây cà chua là $\frac{266}{3} \text{cm}$? Đầu tiên, ta cần tìm thời điểm mà tốc độ tăng chiều cao của cây cà chua đạt cực đại. Điều này tương đương với việc tìm giá trị của \( t \) sao cho đạo hàm của \( v(t) \) bằng 0. \[ v(t) = -0.1t^3 + t^2 \] Tính đạo hàm: \[ v'(t) = -0.3t^2 + 2t \] Đặt \( v'(t) = 0 \): \[ -0.3t^2 + 2t = 0 \] \[ t(-0.3t + 2) = 0 \] Có hai nghiệm: \[ t = 0 \quad \text{hoặc} \quad -0.3t + 2 = 0 \] \[ t = 0 \quad \text{hoặc} \quad t = \frac{2}{0.3} = \frac{20}{3} \approx 6.67 \] Ta kiểm tra dấu của \( v''(t) \) để xác định cực đại: \[ v''(t) = -0.6t + 2 \] Tại \( t = \frac{20}{3} \): \[ v''\left(\frac{20}{3}\right) = -0.6 \cdot \frac{20}{3} + 2 = -4 + 2 = -2 < 0 \] Do đó, \( t = \frac{20}{3} \) là điểm cực đại của \( v(t) \). Bây giờ, ta tính \( h(t) \) tại \( t = \frac{20}{3} \): \[ h(t) = -0.025t^4 + \frac{1}{3}t^3 + 5 \] \[ h\left(\frac{20}{3}\right) = -0.025 \left(\frac{20}{3}\right)^4 + \frac{1}{3} \left(\frac{20}{3}\right)^3 + 5 \] \[ = -0.025 \cdot \frac{160000}{81} + \frac{1}{3} \cdot \frac{8000}{27} + 5 \] \[ = -\frac{4000}{81} + \frac{8000}{81} + 5 \] \[ = \frac{4000}{81} + 5 \] \[ = \frac{4000}{81} + \frac{405}{81} \] \[ = \frac{4405}{81} \approx 54.38 \text{cm} \] Vậy, câu a) là Sai vì chiều cao tối đa của cây cà chua không phải là \(\frac{266}{3} \text{cm}\). b) Công thức xác định hàm số \( h(t) \) (t ≥ 0) là \( h(t) = -0.025t^4 + \frac{1}{3}t^3 + 5 \)? Để kiểm tra công thức này, ta cần tích phân \( v(t) \) từ 0 đến \( t \) và cộng thêm chiều cao ban đầu của cây cà chua. \[ h(t) = \int_0^t v(u) \, du + 5 \] \[ = \int_0^t (-0.1u^3 + u^2) \, du + 5 \] \[ = \left[ -0.025u^4 + \frac{1}{3}u^3 \right]_0^t + 5 \] \[ = -0.025t^4 + \frac{1}{3}t^3 + 5 \] Vậy, câu b) là Đúng. c) Giai đoạn tăng trưởng của cây cà chua kéo dài trong 10 tuần? Ta cần tìm thời điểm mà tốc độ tăng chiều cao của cây cà chua bằng 0. \[ v(t) = -0.1t^3 + t^2 = 0 \] \[ t^2(-0.1t + 1) = 0 \] Có hai nghiệm: \[ t = 0 \quad \text{hoặc} \quad -0.1t + 1 = 0 \] \[ t = 0 \quad \text{hoặc} \quad t = 10 \] Do đó, giai đoạn tăng trưởng của cây cà chua kéo dài trong khoảng từ \( t = 0 \) đến \( t = 10 \). Vậy, câu c) là Đúng. d) Vào thời điểm cây cà chua phát triển nhanh nhất thì cây cà chua cao \(\frac{400}{7} \text{cm}\)? Trước đó, ta đã tìm được thời điểm mà tốc độ tăng chiều cao của cây cà chua đạt cực đại là \( t = \frac{20}{3} \). Bây giờ, ta tính \( h(t) \) tại \( t = \frac{20}{3} \): \[ h\left(\frac{20}{3}\right) = -0.025 \left(\frac{20}{3}\right)^4 + \frac{1}{3} \left(\frac{20}{3}\right)^3 + 5 \] \[ = -0.025 \cdot \frac{160000}{81} + \frac{1}{3} \cdot \frac{8000}{27} + 5 \] \[ = -\frac{4000}{81} + \frac{8000}{81} + 5 \] \[ = \frac{4000}{81} + 5 \] \[ = \frac{4000}{81} + \frac{405}{81} \] \[ = \frac{4405}{81} \approx 54.38 \text{cm} \] Vậy, câu d) là Sai vì vào thời điểm cây cà chua phát triển nhanh nhất thì cây cà chua không cao \(\frac{400}{7} \text{cm}\). Kết luận: - a) Sai - b) Đúng - c) Đúng - d) Sai