Giúp em với

Câu 1. Để tìm giá trị của \( u_6 \) trong dãy số \( (u_n) \) với công thức \( u_n = 2n - 2 \), chúng ta thực hiện các bước sau: 1. Thay \( n = 6 \) vào công thức \( u_n = 2n - 2 \): \[ u_6 = 2 \times 6 - 2 \] 2. Tính toán: \[ u_6 = 12 - 2 = 10 \] Vậy giá trị của \( u_6 \) là 10. Đáp án đúng là: B. 10 Câu 2. Để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \( y = x^3 - 3x + 1 \) trên đoạn \([0;3]\), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số: \[ y' = \frac{d}{dx}(x^3 - 3x + 1) = 3x^2 - 3 \] 2. Tìm các điểm cực trị: Đặt đạo hàm bằng 0 để tìm các điểm cực trị: \[ 3x^2 - 3 = 0 \] \[ 3(x^2 - 1) = 0 \] \[ x^2 - 1 = 0 \] \[ x = \pm 1 \] Trong đoạn \([0;3]\), ta chỉ xét \( x = 1 \). 3. Kiểm tra giá trị của hàm số tại các điểm cực trị và tại các biên của đoạn: - Tại \( x = 0 \): \[ y(0) = 0^3 - 3 \cdot 0 + 1 = 1 \] - Tại \( x = 1 \): \[ y(1) = 1^3 - 3 \cdot 1 + 1 = 1 - 3 + 1 = -1 \] - Tại \( x = 3 \): \[ y(3) = 3^3 - 3 \cdot 3 + 1 = 27 - 9 + 1 = 19 \] 4. So sánh các giá trị đã tính: Các giá trị của hàm số tại các điểm kiểm tra là: - \( y(0) = 1 \) - \( y(1) = -1 \) - \( y(3) = 19 \) Trong các giá trị này, giá trị nhỏ nhất là \(-1\). Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số \( y = x^3 - 3x + 1 \) trên đoạn \([0;3]\) là \(-1\). Đáp án đúng là: D. -1. Câu 3. Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần phân tích bảng biến thiên của hàm số $y = \frac{ax + b}{cx + 1}$ và xác định các điều kiện để hàm số có dạng như trong bảng biến thiên. Bước 1: Xác định các điểm đặc biệt trên bảng biến thiên - Hàm số có tiệm cận đứng tại $x = -\frac{1}{c}$. - Hàm số có tiệm cận ngang tại $y = \frac{a}{c}$. - Hàm số có giá trị cực đại hoặc cực tiểu tại các điểm giao giữa đường thẳng và đường cong. Bước 2: Xác định điều kiện của các tham số - Để hàm số có tiệm cận đứng tại $x = -\frac{1}{c}$, ta cần $c \neq 0$. - Để hàm số có tiệm cận ngang tại $y = \frac{a}{c}$, ta cần $a \neq 0$. Bước 3: Xác định giá trị của $b$ - Từ bảng biến thiên, ta thấy rằng hàm số có giá trị cực đại hoặc cực tiểu tại các điểm giao giữa đường thẳng và đường cong. Điều này có nghĩa là phương trình $\frac{ax + b}{cx + 1} = k$ (với $k$ là giá trị của tiệm cận ngang) phải có nghiệm kép. - Phương trình này có dạng $(ax + b) = k(cx + 1)$, tức là $ax + b = kcx + k$. Điều này dẫn đến $ax - kcx = k - b$, hay $(a - kc)x = k - b$. - Để phương trình này có nghiệm kép, ta cần $a - kc = 0$ và $k - b = 0$. Do đó, $k = \frac{a}{c}$ và $b = \frac{a}{c}$. Bước 4: Xác định giá trị nguyên của $b$ - Ta biết rằng $b = \frac{a}{c}$ và $b \in [-4; 5]$. Để $b$ là số nguyên, $\frac{a}{c}$ phải là số nguyên. - Các giá trị nguyên của $b$ trong khoảng $[-4; 5]$ là: $-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5$. Vậy số giá trị nguyên của $b$ là 10. Đáp án đúng là: C. 10. Câu 4. Để tìm tọa độ điểm \( C \) thỏa mãn \(\overrightarrow{AC} = (3;3;0)\), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định tọa độ của điểm \( A \): Điểm \( A \) có tọa độ là \( A(1;0;1) \). 2. Tìm tọa độ của vectơ \(\overrightarrow{AC}\): Ta biết rằng \(\overrightarrow{AC} = (3;3;0)\). 3. Áp dụng công thức tính tọa độ của điểm \( C \): Tọa độ của điểm \( C \) được tính bằng cách cộng tọa độ của điểm \( A \) với tọa độ của vectơ \(\overrightarrow{AC}\): \[ C = A + \overrightarrow{AC} \] Điều này có nghĩa là: \[ C = (1;0;1) + (3;3;0) \] 4. Thực hiện phép cộng tọa độ: \[ C = (1+3; 0+3; 1+0) = (4;3;1) \] Do đó, tọa độ của điểm \( C \) là \( C(4;3;1) \). Đáp án đúng là: A. \( C(4;3;1) \) Câu 5. Để tìm chiều cao của khối lăng trụ, ta sử dụng công thức tính thể tích của khối lăng trụ: \[ V = B \times h \] Trong đó: - \( V \) là thể tích của khối lăng trụ, - \( B \) là diện tích đáy của khối lăng trụ, - \( h \) là chiều cao của khối lăng trụ. Ta cần tìm \( h \). Để làm điều này, ta sẽ biến đổi công thức trên để giải ra \( h \): \[ h = \frac{V}{B} \] Do đó, đáp án đúng là: B. \( h = \frac{V}{B} \) Đáp số: B. \( h = \frac{V}{B} \) Câu 6. Để xác định đồ thị của hàm số nào có dạng như đường cong trong hình, chúng ta sẽ kiểm tra từng hàm số đã cho. A. $y = \frac{2x - 2}{3x - 1}$ - Đây là hàm phân thức, có tiệm cận đứng tại $x = \frac{1}{3}$ và tiệm cận ngang tại $y = \frac{2}{3}$. Đồ thị của hàm này không giống như đường cong trong hình. B. $y = x^3 - 3x + 2$ - Đây là hàm bậc ba. Ta tính đạo hàm để tìm điểm cực trị: $y' = 3x^2 - 3$ $y' = 0 \Rightarrow 3x^2 - 3 = 0 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1$ - Tại $x = -1$, $y = (-1)^3 - 3(-1) + 2 = -1 + 3 + 2 = 4$ - Tại $x = 1$, $y = 1^3 - 3(1) + 2 = 1 - 3 + 2 = 0$ - Đồ thị có hai điểm cực trị $( -1, 4 )$ và $( 1, 0 )$. Kiểm tra các giá trị khác thấy đồ thị có dạng uốn lượn tương tự như đường cong trong hình. C. $y = -x^3 + 3x + 2$ - Đây cũng là hàm bậc ba. Ta tính đạo hàm để tìm điểm cực trị: $y' = -3x^2 + 3$ $y' = 0 \Rightarrow -3x^2 + 3 = 0 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1$ - Tại $x = -1$, $y = -(-1)^3 + 3(-1) + 2 = 1 - 3 + 2 = 0$ - Tại $x = 1$, $y = -(1)^3 + 3(1) + 2 = -1 + 3 + 2 = 4$ - Đồ thị có hai điểm cực trị $( -1, 0 )$ và $( 1, 4 )$. Kiểm tra các giá trị khác thấy đồ thị có dạng uốn lượn ngược lại so với đường cong trong hình. D. $y = x^3 - 3x - 2$ - Đây cũng là hàm bậc ba. Ta tính đạo hàm để tìm điểm cực trị: $y' = 3x^2 - 3$ $y' = 0 \Rightarrow 3x^2 - 3 = 0 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1$ - Tại $x = -1$, $y = (-1)^3 - 3(-1) - 2 = -1 + 3 - 2 = 0$ - Tại $x = 1$, $y = 1^3 - 3(1) - 2 = 1 - 3 - 2 = -4$ - Đồ thị có hai điểm cực trị $( -1, 0 )$ và $( 1, -4 )$. Kiểm tra các giá trị khác thấy đồ thị có dạng uốn lượn không giống như đường cong trong hình. Từ các phân tích trên, ta thấy rằng đồ thị của hàm số $y = x^3 - 3x + 2$ có dạng uốn lượn giống như đường cong trong hình. Vậy đáp án đúng là: B. $y = x^3 - 3x + 2$ Câu 7. Để tính độ dài đoạn thẳng \(AB\) trong không gian, ta sử dụng công thức tính khoảng cách giữa hai điểm \(A(x_1, y_1, z_1)\) và \(B(x_2, y_2, z_2)\): \[ AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2} \] Áp dụng vào các tọa độ của điểm \(A(-1; 2; 3)\) và điểm \(B(2; -1; 1)\): 1. Tính \(x_2 - x_1\): \[ 2 - (-1) = 2 + 1 = 3 \] 2. Tính \(y_2 - y_1\): \[ -1 - 2 = -3 \] 3. Tính \(z_2 - z_1\): \[ 1 - 3 = -2 \] 4. Tính bình phương của các hiệu trên: \[ 3^2 = 9 \] \[ (-3)^2 = 9 \] \[ (-2)^2 = 4 \] 5. Cộng các bình phương lại: \[ 9 + 9 + 4 = 22 \] 6. Tính căn bậc hai của tổng: \[ AB = \sqrt{22} \] Vậy độ dài đoạn thẳng \(AB\) là \(\sqrt{22}\). Đáp án đúng là: A. \(\sqrt{22}\). Câu 8. Để kiểm tra các khẳng định, chúng ta sẽ sử dụng tính chất của trung điểm và vectơ. A. $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD} = \overrightarrow{0}$ - Vì G là trung điểm của MN, nên $\overrightarrow{GM} = -\overrightarrow{GN}$. - Ta có $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD} = (\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GC}) + (\overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GD})$. - Vì M là trung điểm của AC, nên $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GC} = 2\overrightarrow{GM}$. - Vì N là trung điểm của BD, nên $\overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GD} = 2\overrightarrow{GN}$. - Kết hợp lại ta có: $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD} = 2\overrightarrow{GM} + 2\overrightarrow{GN} = 2(\overrightarrow{GM} + \overrightarrow{GN}) = 2\overrightarrow{0} = \overrightarrow{0}$. - Vậy khẳng định A đúng. B. $\overrightarrow{GM} + \overrightarrow{GN} = \overrightarrow{0}$ - Vì G là trung điểm của MN, nên $\overrightarrow{GM} = -\overrightarrow{GN}$. - Do đó, $\overrightarrow{GM} + \overrightarrow{GN} = \overrightarrow{0}$. - Vậy khẳng định B đúng. C. $\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MD} = 4\overrightarrow{MG}$ - Vì M là trung điểm của AC, nên $\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MC} = \overrightarrow{0}$. - Vì M là trung điểm của BD, nên $\overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MD} = \overrightarrow{0}$. - Kết hợp lại ta có: $\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MD} = \overrightarrow{0} + \overrightarrow{0} = \overrightarrow{0}$. - Mặt khác, $\overrightarrow{MG} = \overrightarrow{0}$ vì G là trung điểm của MN. - Do đó, $4\overrightarrow{MG} = 4\overrightarrow{0} = \overrightarrow{0}$. - Vậy khẳng định C đúng. D. $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \overrightarrow{GD}$ - Ta đã chứng minh ở trên rằng $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD} = \overrightarrow{0}$. - Do đó, $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = -\overrightarrow{GD}$. - Vậy khẳng định D sai. Kết luận: Các khẳng định đúng là A, B và C. Câu 9. Để tìm khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong dãy số liệu: - Giá trị lớn nhất là 300 (gần 300, nhưng không bao gồm 300). - Giá trị nhỏ nhất là 50 (gần 50, nhưng không bao gồm 50). 2. Tính khoảng biến thiên: Khoảng biến thiên = Giá trị lớn nhất - Giá trị nhỏ nhất Khoảng biến thiên = 300 - 50 = 250 Vậy khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm trên là 250. Đáp án đúng là: A. 250 Câu 10. Để giải bất phương trình $(\frac{1}{8})^{x-1} \geq 32$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Viết lại các số dưới dạng lũy thừa cơ sở 2: \[ (\frac{1}{8})^{x-1} = (2^{-3})^{x-1} = 2^{-3(x-1)} \] \[ 32 = 2^5 \] Bước 2: Thay vào bất phương trình: \[ 2^{-3(x-1)} \geq 2^5 \] Bước 3: So sánh các mũ của cùng cơ sở: \[ -3(x-1) \geq 5 \] Bước 4: Giải bất phương trình: \[ -3x + 3 \geq 5 \] \[ -3x \geq 2 \] \[ x \leq -\frac{2}{3} \] Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: \[ (-\infty; -\frac{2}{3}] \] Đáp án đúng là: A. $(-\infty; -\frac{2}{3}]$. Câu 11. Để giải phương trình $\log_3(x-1)=1$, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ): - Đối với phương trình $\log_3(x-1)$, ta cần đảm bảo rằng $x-1 > 0$. Do đó: \[ x > 1 \] 2. Giải phương trình: - Phương trình $\log_3(x-1)=1$ có nghĩa là $x-1$ bằng 3 mũ 1 (vì $\log_3(3^1) = 1$). Do đó: \[ x - 1 = 3^1 \] \[ x - 1 = 3 \] \[ x = 3 + 1 \] \[ x = 4 \] 3. Kiểm tra điều kiện xác định: - Ta đã xác định $x > 1$. Kiểm tra $x = 4$: \[ 4 > 1 \] Điều kiện này thoả mãn. Vậy nghiệm của phương trình $\log_3(x-1)=1$ là $x = 4$. Đáp án đúng là: D. $x = 4$. Câu 12. Để tìm tọa độ điểm cực đại của đồ thị hàm số $y=\frac{1}{3}x^3 - 2x^2 + 3x - 1$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số: \[ y' = \left(\frac{1}{3}x^3 - 2x^2 + 3x - 1\right)' = x^2 - 4x + 3 \] Bước 2: Tìm các điểm cực trị bằng cách giải phương trình đạo hàm bằng 0: \[ y' = 0 \Rightarrow x^2 - 4x + 3 = 0 \] Phương trình này có dạng bậc hai, ta giải nó bằng cách sử dụng công thức nghiệm: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Ở đây, \(a = 1\), \(b = -4\), \(c = 3\): \[ x = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{4}}{2} = \frac{4 \pm 2}{2} \] Do đó, ta có hai nghiệm: \[ x_1 = \frac{4 + 2}{2} = 3 \] \[ x_2 = \frac{4 - 2}{2} = 1 \] Bước 3: Xác định tính chất của các điểm cực trị bằng cách kiểm tra dấu của đạo hàm ở các khoảng giữa các nghiệm: - Khi \(x < 1\), chọn \(x = 0\): \[ y'(0) = 0^2 - 4 \cdot 0 + 3 = 3 > 0 \] - Khi \(1 < x < 3\), chọn \(x = 2\): \[ y'(2) = 2^2 - 4 \cdot 2 + 3 = 4 - 8 + 3 = -1 < 0 \] - Khi \(x > 3\), chọn \(x = 4\): \[ y'(4) = 4^2 - 4 \cdot 4 + 3 = 16 - 16 + 3 = 3 > 0 \] Từ kết quả trên, ta thấy: - \(y'\) chuyển từ dương sang âm tại \(x = 1\), do đó \(x = 1\) là điểm cực đại. - \(y'\) chuyển từ âm sang dương tại \(x = 3\), do đó \(x = 3\) là điểm cực tiểu. Bước 4: Tính giá trị của hàm số tại điểm cực đại \(x = 1\): \[ y(1) = \frac{1}{3}(1)^3 - 2(1)^2 + 3(1) - 1 = \frac{1}{3} - 2 + 3 - 1 = \frac{1}{3} \] Vậy tọa độ điểm cực đại của đồ thị hàm số là \((1; \frac{1}{3})\). Đáp án đúng là: A. $(1; \frac{1}{3})$.