Cho hàm số y=f(x) liên tục trên [0;2]. Tính tích phân sau: A = integrate |x ^ 3 + x ^ 2 - 2x| dx from -2 to 1

Để tính tích phân \( A = \int_{-2}^{1} |x^3 + x^2 - 2x| \, dx \), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định dấu của biểu thức \( x^3 + x^2 - 2x \) trên khoảng \([-2, 1]\). Ta thấy: \[ x^3 + x^2 - 2x = x(x^2 + x - 2) = x(x+2)(x-1). \] Biểu thức này thay đổi dấu tại các điểm \( x = -2, x = 0, x = 1 \). Bước 2: Xét dấu của biểu thức trên các khoảng \([-2, 0)\), \((0, 1)\): - Trên khoảng \([-2, 0)\), ta chọn \( x = -1 \): \[ (-1)^3 + (-1)^2 - 2(-1) = -1 + 1 + 2 = 2 > 0. \] Vậy \( x^3 + x^2 - 2x > 0 \) trên \([-2, 0)\). - Trên khoảng \((0, 1)\), ta chọn \( x = \frac{1}{2} \): \[ \left(\frac{1}{2}\right)^3 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 - 2\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{8} + \frac{1}{4} - 1 = \frac{1}{8} + \frac{2}{8} - \frac{8}{8} = -\frac{5}{8} < 0. \] Vậy \( x^3 + x^2 - 2x < 0 \) trên \((0, 1)\). Bước 3: Tính tích phân theo từng khoảng: \[ A = \int_{-2}^{0} (x^3 + x^2 - 2x) \, dx + \int_{0}^{1} -(x^3 + x^2 - 2x) \, dx. \] Tính từng tích phân riêng lẻ: \[ \int_{-2}^{0} (x^3 + x^2 - 2x) \, dx = \left[ \frac{x^4}{4} + \frac{x^3}{3} - x^2 \right]_{-2}^{0} = 0 - \left( \frac{(-2)^4}{4} + \frac{(-2)^3}{3} - (-2)^2 \right) = 0 - \left( 4 - \frac{8}{3} - 4 \right) = \frac{8}{3}. \] \[ \int_{0}^{1} -(x^3 + x^2 - 2x) \, dx = -\left[ \frac{x^4}{4} + \frac{x^3}{3} - x^2 \right]_{0}^{1} = -\left( \frac{1^4}{4} + \frac{1^3}{3} - 1^2 \right) = -\left( \frac{1}{4} + \frac{1}{3} - 1 \right) = -\left( \frac{3}{12} + \frac{4}{12} - \frac{12}{12} \right) = -\left( -\frac{5}{12} \right) = \frac{5}{12}. \] Bước 4: Cộng các kết quả lại: \[ A = \frac{8}{3} + \frac{5}{12} = \frac{32}{12} + \frac{5}{12} = \frac{37}{12}. \] Vậy tích phân \( A = \int_{-2}^{1} |x^3 + x^2 - 2x| \, dx = \frac{37}{12} \).