ghvfcvbbxxxxxxx

Câu 8. a) Ta có: \[ \log_8 \frac{1}{32} = \log_8 32^{-1} = -\log_8 32 \] Ta viết \(32\) dưới dạng cơ số \(8\): \[ 32 = 2^5 = (2^3)^{\frac{5}{3}} = 8^{\frac{5}{3}} \] Do đó: \[ \log_8 32 = \log_8 8^{\frac{5}{3}} = \frac{5}{3} \] Vậy: \[ \log_8 \frac{1}{32} = -\frac{5}{3} \] b) Ta có: \[ \log_5 3 \cdot \log_3 5 \] Áp dụng công thức đổi cơ số: \[ \log_5 3 = \frac{\log 3}{\log 5}, \quad \log_3 5 = \frac{\log 5}{\log 3} \] Nhân hai biểu thức này lại: \[ \log_5 3 \cdot \log_3 5 = \left( \frac{\log 3}{\log 5} \right) \cdot \left( \frac{\log 5}{\log 3} \right) = 1 \] c) Ta có: \[ 2^{\frac{1}{\log_5 2}} \] Áp dụng công thức đổi cơ số: \[ \log_5 2 = \frac{\log 2}{\log 5} \] Do đó: \[ \frac{1}{\log_5 2} = \frac{\log 5}{\log 2} \] Vậy: \[ 2^{\frac{1}{\log_5 2}} = 2^{\frac{\log 5}{\log 2}} = 5 \] d) Ta có: \[ \log_{27} 25 \cdot \log_5 81 \] Áp dụng công thức đổi cơ số: \[ \log_{27} 25 = \frac{\log 25}{\log 27}, \quad \log_5 81 = \frac{\log 81}{\log 5} \] Nhân hai biểu thức này lại: \[ \log_{27} 25 \cdot \log_5 81 = \left( \frac{\log 25}{\log 27} \right) \cdot \left( \frac{\log 81}{\log 5} \right) \] Viết \(25\) và \(81\) dưới dạng lũy thừa: \[ 25 = 5^2, \quad 81 = 3^4 \] Do đó: \[ \log 25 = \log 5^2 = 2 \log 5, \quad \log 81 = \log 3^4 = 4 \log 3 \] Vậy: \[ \log_{27} 25 \cdot \log_5 81 = \left( \frac{2 \log 5}{\log 27} \right) \cdot \left( \frac{4 \log 3}{\log 5} \right) = \frac{8 \log 5 \log 3}{\log 27 \log 5} = \frac{8 \log 3}{\log 27} \] Viết \(27\) dưới dạng lũy thừa: \[ 27 = 3^3 \] Do đó: \[ \log 27 = \log 3^3 = 3 \log 3 \] Vậy: \[ \log_{27} 25 \cdot \log_5 81 = \frac{8 \log 3}{3 \log 3} = \frac{8}{3} \] Đáp số: a) \(-\frac{5}{3}\) b) \(1\) c) \(5\) d) \(\frac{8}{3}\) Câu 9. a) Ta có: \[ \log_3 5 \cdot \log_5 7 \cdot \log_7 9 \] Áp dụng công thức đổi cơ số $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$, ta có: \[ \log_3 5 = \frac{\log 5}{\log 3}, \quad \log_5 7 = \frac{\log 7}{\log 5}, \quad \log_7 9 = \frac{\log 9}{\log 7} \] Nhân các biểu thức này lại với nhau: \[ \log_3 5 \cdot \log_5 7 \cdot \log_7 9 = \left( \frac{\log 5}{\log 3} \right) \cdot \left( \frac{\log 7}{\log 5} \right) \cdot \left( \frac{\log 9}{\log 7} \right) \] Các phân số này sẽ giản ước với nhau: \[ = \frac{\log 5}{\log 3} \cdot \frac{\log 7}{\log 5} \cdot \frac{\log 9}{\log 7} = \frac{\log 9}{\log 3} \] Biểu thức trên còn được viết lại là: \[ = \log_3 9 \] Vì $9 = 3^2$, nên: \[ \log_3 9 = \log_3 (3^2) = 2 \] Vậy: \[ \log_3 5 \cdot \log_5 7 \cdot \log_7 9 = 2 \] b) Ta có: \[ \log_2 \frac{1}{25} \cdot \log_3 \frac{1}{32} \cdot \log_5 \frac{1}{27} \] Áp dụng tính chất của lôgarit $\log_a \left(\frac{1}{b}\right) = -\log_a b$, ta có: \[ \log_2 \frac{1}{25} = -\log_2 25, \quad \log_3 \frac{1}{32} = -\log_3 32, \quad \log_5 \frac{1}{27} = -\log_5 27 \] Nhân các biểu thức này lại với nhau: \[ \log_2 \frac{1}{25} \cdot \log_3 \frac{1}{32} \cdot \log_5 \frac{1}{27} = (-\log_2 25) \cdot (-\log_3 32) \cdot (-\log_5 27) \] Có ba dấu âm, nên kết quả sẽ là âm: \[ = - (\log_2 25 \cdot \log_3 32 \cdot \log_5 27) \] Áp dụng công thức đổi cơ số $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$, ta có: \[ \log_2 25 = \frac{\log 25}{\log 2}, \quad \log_3 32 = \frac{\log 32}{\log 3}, \quad \log_5 27 = \frac{\log 27}{\log 5} \] Nhân các biểu thức này lại với nhau: \[ \log_2 25 \cdot \log_3 32 \cdot \log_5 27 = \left( \frac{\log 25}{\log 2} \right) \cdot \left( \frac{\log 32}{\log 3} \right) \cdot \left( \frac{\log 27}{\log 5} \right) \] Các phân số này sẽ giản ước với nhau: \[ = \frac{\log 25}{\log 2} \cdot \frac{\log 32}{\log 3} \cdot \frac{\log 27}{\log 5} \] Vì $25 = 5^2$, $32 = 2^5$, $27 = 3^3$, nên: \[ = \frac{\log (5^2)}{\log 2} \cdot \frac{\log (2^5)}{\log 3} \cdot \frac{\log (3^3)}{\log 5} \] Sử dụng tính chất $\log (a^b) = b \log a$: \[ = \frac{2 \log 5}{\log 2} \cdot \frac{5 \log 2}{\log 3} \cdot \frac{3 \log 3}{\log 5} \] Các phân số này sẽ giản ước với nhau: \[ = 2 \cdot 5 \cdot 3 = 30 \] Vậy: \[ \log_2 \frac{1}{25} \cdot \log_3 \frac{1}{32} \cdot \log_5 \frac{1}{27} = -30 \] Đáp số: a) 2 b) -30 Câu 10. Để tính giá trị của biểu thức \( \sqrt[3]{2} + \log_{10}(3) - e^{0.5} \) và làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ tư, chúng ta sẽ thực hiện từng bước như sau: 1. Tính \( \sqrt[3]{2} \): - Sử dụng máy tính cầm tay, ta có \( \sqrt[3]{2} \approx 1.2599 \). 2. Tính \( \log_{10}(3) \): - Sử dụng máy tính cầm tay, ta có \( \log_{10}(3) \approx 0.4771 \). 3. Tính \( e^{0.5} \): - Sử dụng máy tính cầm tay, ta có \( e^{0.5} \approx 1.6487 \). 4. Cộng và trừ các giá trị đã tính: - \( \sqrt[3]{2} + \log_{10}(3) - e^{0.5} \approx 1.2599 + 0.4771 - 1.6487 \). 5. Thực hiện phép tính cộng và trừ: - \( 1.2599 + 0.4771 = 1.7370 \). - \( 1.7370 - 1.6487 = 0.0883 \). 6. Làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ tư: - Kết quả cuối cùng là \( 0.0883 \). Vậy, giá trị của biểu thức \( \sqrt[3]{2} + \log_{10}(3) - e^{0.5} \) làm tròn đến chữ số thập phân thứ tư là \( 0.0883 \).