đại số và hình học

Câu 11. Câu hỏi yêu cầu chúng ta xác định khẳng định đúng trong các lựa chọn đã cho liên quan đến hình chữ nhật. Chúng ta sẽ kiểm tra từng khẳng định một. A. Trong hình chữ nhật có hai đường chéo bằng nhau. - Đây là một tính chất đúng của hình chữ nhật. Các đường chéo của hình chữ nhật luôn bằng nhau. B. Tứ giác có ba góc vuông là hình chữ nhật. - Đây cũng là một khẳng định đúng. Nếu một tứ giác có ba góc vuông, thì góc còn lại cũng phải là góc vuông (vì tổng các góc trong một tứ giác là 360°). Do đó, tứ giác đó là hình chữ nhật. C. Trong hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau. - Đây là một khẳng định sai. Trong hình chữ nhật, chỉ có các cặp cạnh đối diện bằng nhau, không phải các cạnh kề. D. Trong hình chữ nhật có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường. - Đây là một khẳng định đúng. Các đường chéo của hình chữ nhật cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường chéo. Tóm lại, các khẳng định đúng là: - A. Trong hình chữ nhật có hai đường chéo bằng nhau. - B. Tứ giác có ba góc vuông là hình chữ nhật. - D. Trong hình chữ nhật có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường. Như vậy, khẳng định đúng là A, B và D. Câu 12. Câu hỏi: Cho tam giác ABC có BM là tia phân giác của $\overset\frown{ABC}(M\in AC)$ khi đó A. $\frac{AB}{BC}=\frac{MA}{AB}$ B. $\frac{AB}{BC}=\frac{MC}{MB}$ C. $\frac{AB}{BC}=\frac{MC}{AC}$ D. $\frac{AB}{BC}=\frac{AM}{MC}$ Câu trả lời: Theo tính chất của tia phân giác trong tam giác, ta có: \[ \frac{AB}{BC} = \frac{AM}{MC} \] Do đó, đáp án đúng là: D. $\frac{AB}{BC}=\frac{AM}{MC}$ Bài 1. Để xác định hệ số, phần biến và bậc của đơn thức $\frac{2}{3}x^2y^6z$, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Hệ số: Hệ số của đơn thức là số hạng đứng trước phần biến. Trong trường hợp này, hệ số là $\frac{2}{3}$. 2. Phần biến: Phần biến của đơn thức bao gồm tất cả các chữ cái đại diện cho các biến. Trong đơn thức $\frac{2}{3}x^2y^6z$, phần biến là $x^2y^6z$. 3. Bậc của đơn thức: Bậc của đơn thức là tổng các số mũ của các biến trong phần biến. Trong đơn thức $\frac{2}{3}x^2y^6z$, các biến có số mũ như sau: - Biến $x$ có số mũ là 2. - Biến $y$ có số mũ là 6. - Biến $z$ có số mũ là 1 (vì $z$ có thể viết là $z^1$). Vậy bậc của đơn thức là: \[ 2 + 6 + 1 = 9 \] Tóm lại: - Hệ số của đơn thức là $\frac{2}{3}$. - Phần biến của đơn thức là $x^2y^6z$. - Bậc của đơn thức là 9. Bài 2. a) Thu gọn đa thức $M = x^3y - 5x + 4 + 3x^3y + 2x + 1$. Để thu gọn đa thức, ta nhóm các hạng tử đồng dạng lại với nhau: \[ M = (x^3y + 3x^3y) + (-5x + 2x) + (4 + 1) \] Rồi thực hiện phép cộng các hệ số của các hạng tử đồng dạng: \[ M = 4x^3y - 3x + 5 \] b) Tính tổng $(5x^3 + 5x - 3y) + (y - 4x^3 + 7x - 1)$. Để tính tổng của hai đa thức, ta nhóm các hạng tử đồng dạng lại với nhau: \[ (5x^3 + 5x - 3y) + (y - 4x^3 + 7x - 1) \] \[ = 5x^3 - 4x^3 + 5x + 7x - 3y + y - 1 \] Rồi thực hiện phép cộng các hệ số của các hạng tử đồng dạng: \[ = (5x^3 - 4x^3) + (5x + 7x) + (-3y + y) - 1 \] \[ = x^3 + 12x - 2y - 1 \] Đáp số: a) $M = 4x^3y - 3x + 5$ b) Tổng là $x^3 + 12x - 2y - 1$ Bài 3. Để khai triển biểu thức $(y + 3x)^2$, ta sử dụng hằng đẳng thức $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. Trong đó, ta coi $a = y$ và $b = 3x$. Bước 1: Ta viết lại biểu thức theo dạng hằng đẳng thức: $(y + 3x)^2 = y^2 + 2(y)(3x) + (3x)^2$ Bước 2: Thực hiện phép nhân: - $y^2$ giữ nguyên. - $2(y)(3x) = 2 \cdot y \cdot 3 \cdot x = 6yx$ - $(3x)^2 = 3^2 \cdot x^2 = 9x^2$ Bước 3: Viết kết quả cuối cùng: $(y + 3x)^2 = y^2 + 6yx + 9x^2$ Vậy, khai triển của $(y + 3x)^2$ là $y^2 + 6yx + 9x^2$. Bài 4. a) \( x(x + y) + 5x + 5y \) Bước 1: Nhóm các hạng tử có chứa \( x + y \): \[ x(x + y) + 5(x + y) \] Bước 2: Nhân chung \( x + y \) ra ngoài: \[ (x + y)(x + 5) \] Vậy, \( x(x + y) + 5x + 5y = (x + y)(x + 5) \). b) \( z^4 + 2y - 2z - xy \) Bước 1: Nhóm các hạng tử có chứa \( z \) và các hạng tử còn lại: \[ z^4 - 2z + 2y - xy \] Bước 2: Nhóm lại theo cách khác để dễ dàng nhận thấy nhân tử chung: \[ z(z^3 - 2) + y(2 - x) \] Như vậy, ta đã phân tích các đa thức thành nhân tử như sau: a) \( x(x + y) + 5x + 5y = (x + y)(x + 5) \) b) \( z^4 + 2y - 2z - xy = z(z^3 - 2) + y(2 - x) \) Bài 5. a) Ta có E là trung điểm của BC và AQ nên tứ giác ABQC là hình bình hành. Mà tam giác ABC vuông tại A nên tứ giác ABQC là hình chữ nhật. b) Ta có I là trung điểm của CQ và E là trung điểm của BC nên IE là đường trung bình của tam giác BCQ. Suy ra IE song song với BQ. Mà BQ vuông góc với AB (vì ABQC là hình chữ nhật) nên IE vuông góc với AB. Bài 6. Để lập bảng thống kê và vẽ biểu đồ cột biểu diễn số lượng các bạn học sinh lớp 8A yêu thích một số môn học, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định số lượng học sinh yêu thích mỗi môn học - Số lượng học sinh yêu thích môn Toán: 6 ứng với 6 × 3 = 18 học sinh - Số lượng học sinh yêu thích môn Ngữ văn: 4 ứng với 4 × 3 = 12 học sinh - Số lượng học sinh yêu thích môn Tiếng Anh: 5 ứng với 5 × 3 = 15 học sinh - Số lượng học sinh yêu thích môn Giáo dục thể chất: 7 ứng với 7 × 3 = 21 học sinh Bước 2: Lập bảng thống kê | Môn học | Số lượng học sinh | |---------|------------------| | Toán | 18 | | Ngữ văn | 12 | | Tiếng Anh | 15 | | Giáo dục thể chất | 21 | Bước 3: Vẽ biểu đồ cột - Trên trục hoành (trục ngang) vẽ các nhãn tương ứng với các môn học: Toán, Ngữ văn, Tiếng Anh, Giáo dục thể chất. - Trên trục tung (trục dọc) đánh dấu các giá trị từ 0 đến 21 (vì số lượng học sinh yêu thích môn Giáo dục thể chất là 21, lớn nhất trong các môn học). - Vẽ các cột tương ứng với số lượng học sinh yêu thích mỗi môn học. Dưới đây là biểu đồ cột biểu diễn dữ liệu trên: 21 | 20 | 19 | 18 | 17 | 16 | 15 | 14 | 13 | 12 | 11 | 10 | 9 | 8 | 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |_________________________ Toán Ngữ văn Tiếng Anh Giáo dục thể chất Như vậy, chúng ta đã hoàn thành việc lập bảng thống kê và vẽ biểu đồ cột biểu diễn số lượng các bạn học sinh lớp 8A yêu thích một số môn học. Bài 7. Để tính khoảng cách giữa hai điểm E và F, chúng ta sẽ sử dụng tính chất của tam giác đồng dạng. Trước tiên, chúng ta nhận thấy rằng $\widehat{ABE} = \widehat{ACF}$ và $\widehat{BAE} = \widehat{CAF}$ (vì chúng là góc chung). Do đó, theo tiêu chí góc-góc, ta có tam giác ABE đồng dạng với tam giác ACF. Khi hai tam giác đồng dạng, tỉ số của các cạnh tương ứng sẽ bằng nhau. Ta có: \[ \frac{AB}{AC} = \frac{AE}{AF} \] Thay các giá trị đã biết vào: \[ \frac{15}{60} = \frac{20}{AF} \] Giải phương trình này để tìm AF: \[ \frac{15}{60} = \frac{20}{AF} \implies \frac{1}{4} = \frac{20}{AF} \implies AF = 20 \times 4 = 80 \text{ m} \] Khoảng cách giữa hai điểm E và F là: \[ EF = AF - AE = 80 - 20 = 60 \text{ m} \] Vậy khoảng cách giữa hai điểm E và F là 60 mét.