giúp mình với

Bài 3. a) Ta sẽ chứng minh dãy $(u_n)$ là dãy tăng và bị chặn trên bởi 2. - Với $n = 1$, ta có $u_1 = 1 < 2$. - Giả sử $u_k < 2$ với một số tự nhiên $k$. Ta cần chứng minh $u_{k+1} < 2$. Ta có: \[ u_{k+1} = \frac{8 + u_k}{5} < \frac{8 + 2}{5} = 2 \] Do đó, $u_{k+1} < 2$. Vậy dãy $(u_n)$ bị chặn trên bởi 2. - Để chứng minh dãy $(u_n)$ là dãy tăng, ta cần chứng minh $u_{n+1} > u_n$. Ta có: \[ u_{n+1} - u_n = \frac{8 + u_n}{5} - u_n = \frac{8 + u_n - 5u_n}{5} = \frac{8 - 4u_n}{5} \] Vì $u_n < 2$, nên $8 - 4u_n > 0$. Do đó, $u_{n+1} - u_n > 0$, tức là $u_{n+1} > u_n$. Vậy dãy $(u_n)$ là dãy tăng và bị chặn trên bởi 2. Theo định lý về dãy số hội tụ, dãy $(u_n)$ hội tụ. - Tìm giới hạn của dãy $(u_n)$: Giả sử dãy $(u_n)$ có giới hạn là $L$. Ta có: \[ L = \lim_{n \to \infty} u_{n+1} = \lim_{n \to \infty} \frac{8 + u_n}{5} = \frac{8 + L}{5} \] Từ đó, ta có phương trình: \[ 5L = 8 + L \] \[ 4L = 8 \] \[ L = 2 \] Vậy giới hạn của dãy $(u_n)$ là 2. b) Ta sẽ chứng minh dãy $(u_n)$ là dãy giảm và bị chặn dưới bởi $\frac{1}{2}$. - Với $n = 1$, ta có $u_1 = 3 > \frac{1}{2}$. - Giả sử $u_k > \frac{1}{2}$ với một số tự nhiên $k$. Ta cần chứng minh $u_{k+1} > \frac{1}{2}$. Ta có: \[ 2u_{k+1} = \sqrt{4u_k - 1} \] \[ u_{k+1} = \frac{\sqrt{4u_k - 1}}{2} \] Vì $u_k > \frac{1}{2}$, nên $4u_k - 1 > 0$. Do đó, $u_{k+1} > 0$. Hơn nữa, ta có: \[ 4u_k - 1 > 0 \Rightarrow 4u_k > 1 \Rightarrow u_k > \frac{1}{4} \] \[ u_{k+1} = \frac{\sqrt{4u_k - 1}}{2} > \frac{\sqrt{4 \cdot \frac{1}{4} - 1}}{2} = \frac{\sqrt{0}}{2} = 0 \] Vậy $u_{k+1} > \frac{1}{2}$. Do đó, dãy $(u_n)$ bị chặn dưới bởi $\frac{1}{2}$. - Để chứng minh dãy $(u_n)$ là dãy giảm, ta cần chứng minh $u_{n+1} < u_n$. Ta có: \[ 2u_{n+1} = \sqrt{4u_n - 1} \] \[ u_{n+1} = \frac{\sqrt{4u_n - 1}}{2} \] Vì $u_n > \frac{1}{2}$, nên $4u_n - 1 > 0$. Do đó, $u_{n+1} > 0$. Hơn nữa, ta có: \[ 4u_n - 1 > 0 \Rightarrow 4u_n > 1 \Rightarrow u_n > \frac{1}{4} \] \[ u_{n+1} = \frac{\sqrt{4u_n - 1}}{2} < \frac{\sqrt{4u_n}}{2} = u_n \] Vậy dãy $(u_n)$ là dãy giảm và bị chặn dưới bởi $\frac{1}{2}$. Theo định lý về dãy số hội tụ, dãy $(u_n)$ hội tụ. - Tìm giới hạn của dãy $(u_n)$: Giả sử dãy $(u_n)$ có giới hạn là $L$. Ta có: \[ L = \lim_{n \to \infty} u_{n+1} = \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{4u_n - 1}}{2} = \frac{\sqrt{4L - 1}}{2} \] Từ đó, ta có phương trình: \[ 2L = \sqrt{4L - 1} \] \[ 4L^2 = 4L - 1 \] \[ 4L^2 - 4L + 1 = 0 \] \[ (2L - 1)^2 = 0 \] \[ 2L - 1 = 0 \] \[ L = \frac{1}{2} \] Vậy giới hạn của dãy $(u_n)$ là $\frac{1}{2}$.