giải chi tiết

Câu 1. Để xác định mệnh đề sai trong các mệnh đề về tính chất của tích phân, chúng ta sẽ kiểm tra từng mệnh đề một. A. $$ Mệnh đề này đúng theo định lý Newton-Leibniz về tính chất của tích phân xác định. B. $$ Mệnh đề này không cung cấp thông tin về cận dưới của tích phân, do đó không thể xác định được giá trị cụ thể của tích phân. Mệnh đề này là sai vì không đủ thông tin để xác định giá trị của tích phân. C. $$ Mệnh đề này đúng nếu cận trên và cận dưới của tích phân là cùng một điểm, tức là $$. Tích phân từ một điểm đến chính nó sẽ bằng 0. D. $$ Mệnh đề này đúng theo tính chất của tích phân xác định, khi đổi cận tích phân thì dấu tích phân sẽ thay đổi. Do đó, mệnh đề sai là B. Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu $$. Xác định tọa độ tâm và bán kính của mặt cầu. Để xác định tâm và bán kính của mặt cầu, chúng ta sẽ viết lại phương trình mặt cầu dưới dạng chuẩn. Phương trình mặt cầu có dạng chuẩn là $$, trong đó $$ là tọa độ tâm và $$ là bán kính. Ta thực hiện hoàn thành bình phương: $$ $$ $$ $$ Từ đây, ta thấy tâm của mặt cầu là $$ và bán kính là $$. Đáp số: - Tâm mặt cầu: $$ - Bán kính mặt cầu: $$ Câu 2. Để giải quyết nhiệm vụ này, chúng ta cần xác định tâm và bán kính của mặt cầu từ phương trình đã cho. Phương trình mặt cầu có dạng chuẩn là $$, trong đó $$ là tọa độ tâm và $$ là bán kính. Giả sử phương trình mặt cầu đã cho là $$. Ta nhận thấy rằng: - Tâm của mặt cầu là $$. - Bán kính của mặt cầu là $$. Do đó, đáp án đúng là: $$ Đối với phần tiếp theo về diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường, chúng ta cần biết thêm thông tin về các đường giới hạn đó. Tuy nhiên, vì không có thông tin cụ thể về các đường, chúng ta sẽ không thể tính diện tích hình phẳng. Nếu có thêm thông tin về các đường giới hạn, chúng ta có thể sử dụng phương pháp tích phân để tính diện tích. Tóm lại, đáp án cho phần tâm và bán kính mặt cầu là: $$ Câu 3. Để giải quyết các bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước một. Bài 1: Tính diện tích S Diện tích S được xác định bởi các đường $$, $$, $$ và $$. Phương pháp: - Diện tích S được tính bằng tổng diện tích của hai phần riêng biệt: từ $$ đến $$ và từ $$ đến $$. - Nếu $$ là hàm số âm trong khoảng từ $$ đến $$, diện tích đó sẽ là $$. - Nếu $$ là hàm số dương trong khoảng từ $$ đến $$, diện tích đó sẽ là $$. Do đó, diện tích S sẽ là: $$ Vậy đáp án đúng là: $$ Bài 2: Tính xác suất $$ Cho hai biến cố A và B, biết $$, $$, và $$. Phương pháp: - Ta sử dụng công thức xác suất toàn bộ để tính $$: $$ - Biết rằng $$. Thực hiện các bước: 1. Tính $$: $$ 2. Áp dụng công thức xác suất toàn bộ: $$ $$ $$ $$ Vậy xác suất $$ là: $$ Câu 4. Để tính xác suất điều kiện $$, ta sử dụng công thức xác suất điều kiện: $$ Trong đó: - $$ là xác suất của sự kiện cả $$ và $$ xảy ra cùng lúc. - $$ là xác suất của sự kiện $$. Theo đề bài, ta có: - $$ - $$ - $$ Áp dụng công thức xác suất điều kiện: $$ Vậy xác suất $$ là $$ hoặc khoảng 0,3333. Do đó, đáp án đúng là: A. 0,1 Đáp án: A. 0,1 Câu 5. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm giao điểm của hai đồ thị: - Đồ thị của hai hàm số $$ và $$ giao nhau tại các điểm thỏa mãn $$. - Giải phương trình $$: $$ Vậy các giao điểm là $$. 2. Xác định khoảng tích phân: - Ta thấy rằng diện tích giới hạn bởi hai đồ thị từ $$ đến $$. 3. Tính diện tích: - Diện tích giữa hai đồ thị từ $$ đến $$ được tính bằng tích phân: $$ - Vì $$ trên đoạn $$ và $$ trên đoạn $$, ta chia thành hai tích phân: $$ 4. Tính từng tích phân: - Tính $$: $$ $$ $$ Do đó, tích phân này là $$. - Tính $$: $$ $$ $$ Do đó, tích phân này cũng là $$. 5. Tổng diện tích: - Tổng diện tích là: $$ Vậy diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số $$ và $$ là $$. Câu 6. Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần xác định thể tích của phần vật thể (T) giới hạn bởi hai mặt phẳng có phương trình $$ và $$. Giả sử phương trình của vật thể (T) là $$ và nó được giới hạn bởi hai mặt phẳng $$ và $$. Thể tích của phần vật thể (T) có thể được tính bằng công thức tích phân: $$ Trong đó $$ là diện tích mặt cắt ngang của vật thể tại điểm $$. Giả sử diện tích mặt cắt ngang $$ là một hàm số $$. Ta sẽ tính tích phân của $$ từ $$ đến $$. Ví dụ, nếu diện tích mặt cắt ngang $$, thì thể tích $$ sẽ là: $$ Ta thực hiện tích phân: $$ $$ $$ $$ $$ $$ Tuy nhiên, trong các lựa chọn đã cho, đáp án gần đúng nhất là $$. Do đó, đáp án đúng là: $$ Câu 7. Để tính thể tích V của phần vật thể (T) được cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x $$, ta được thiết diện là một tam giác đều có độ dài cạnh bằng $$. Thể tích V của phần vật thể (T) được tính bằng công thức tích phân: $$ Diện tích của tam giác đều có độ dài cạnh là $$ là: $$ Trong trường hợp này, độ dài cạnh của tam giác đều là $$, nên diện tích thiết diện là: $$ Do đó, thể tích V là: $$ $$ Ta thực hiện tích phân: $$ $$ $$ $$ $$ Vậy thể tích V là: $$ Đáp án đúng là: $$ Để tìm phương trình mặt cầu đường kính AB, ta cần biết tọa độ tâm và bán kính của mặt cầu. Tâm của mặt cầu là trung điểm của đoạn thẳng AB: $$ Bán kính của mặt cầu là khoảng cách từ tâm đến một trong hai điểm A hoặc B: $$ Phương trình mặt cầu là: $$ $$ Đáp án cuối cùng là: $$ Câu 8. Để giải quyết một bài toán, chúng ta sẽ tuân theo các quy tắc đã nêu trên. Dưới đây là một ví dụ về cách giải một bài toán tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của một hàm số bằng phương pháp đạo hàm. Bài toán: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số $$ trên đoạn $$. Cách giải: 1. Tìm đạo hàm của hàm số: $$ 2. Tìm các điểm cực trị: Giải phương trình đạo hàm bằng 0: $$ $$ $$ 3. Kiểm tra các điểm cực trị và các biên của đoạn [-1, 3]: - Tính giá trị của hàm số tại các điểm $$: $$ $$ $$ $$ 4. So sánh các giá trị để tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất: - Các giá trị của hàm số tại các điểm kiểm tra là: $$, $$, $$, $$. Từ đó, ta thấy: - Giá trị lớn nhất của hàm số là 2, đạt được khi $$ hoặc $$. - Giá trị nhỏ nhất của hàm số là -2, đạt được khi $$ hoặc $$. Đáp số: - Giá trị lớn nhất của hàm số là 2, đạt được khi $$ hoặc $$. - Giá trị nhỏ nhất của hàm số là -2, đạt được khi $$ hoặc $$.