Trong không gian với hệ tọa độ cho ba điểm và Viết phương trình mặt phẳng đi qua Oxyz, A(3;2; 2), − B(1;0;1) C(2; 1;3). − A và vuông góc với đường thẳng BC. Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của A trê...

Để viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm \(A(3;2;2)\) và vuông góc với đường thẳng \(BC\), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng: - Vectơ \( \overrightarrow{BC} \) là vectơ chỉ phương của đường thẳng \(BC\). - Tọa độ của \(B\) là \((1;0;1)\) và tọa độ của \(C\) là \((2;1;3)\). - Vectơ \( \overrightarrow{BC} \) được tính như sau: \[ \overrightarrow{BC} = C - B = (2-1; 1-0; 3-1) = (1; 1; 2) \] - Vì mặt phẳng cần tìm vuông góc với đường thẳng \(BC\), nên vectơ pháp tuyến của mặt phẳng chính là \( \overrightarrow{BC} \). 2. Viết phương trình mặt phẳng: - Phương trình mặt phẳng có dạng \(ax + by + cz + d = 0\), trong đó \((a, b, c)\) là tọa độ của vectơ pháp tuyến. - Ta có \(a = 1\), \(b = 1\), \(c = 2\). - Mặt phẳng đi qua điểm \(A(3;2;2)\), thay vào phương trình mặt phẳng: \[ 1 \cdot 3 + 1 \cdot 2 + 2 \cdot 2 + d = 0 \] \[ 3 + 2 + 4 + d = 0 \] \[ 9 + d = 0 \] \[ d = -9 \] - Vậy phương trình mặt phẳng là: \[ x + y + 2z - 9 = 0 \] 3. Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của \(A\) trên đường thẳng \(BC\): - Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(A\) trên đường thẳng \(BC\). Ta có \(AH \perp BC\). - Đường thẳng \(BC\) có phương trình tham số: \[ \left\{ \begin{array}{l} x = 1 + t \\ y = t \\ z = 1 + 2t \end{array} \right. \] - Gọi \(H(t)\) là tọa độ của điểm \(H\), tức là \(H(1+t; t; 1+2t)\). - Vectơ \( \overrightarrow{AH} \) là: \[ \overrightarrow{AH} = H - A = (1+t-3; t-2; 1+2t-2) = (t-2; t-2; 2t-1) \] - Vì \(AH \perp BC\), nên \( \overrightarrow{AH} \cdot \overrightarrow{BC} = 0 \): \[ (t-2) \cdot 1 + (t-2) \cdot 1 + (2t-1) \cdot 2 = 0 \] \[ t - 2 + t - 2 + 4t - 2 = 0 \] \[ 6t - 6 = 0 \] \[ 6t = 6 \] \[ t = 1 \] - Thay \(t = 1\) vào phương trình tham số của đường thẳng \(BC\): \[ H(1+1; 1; 1+2 \cdot 1) = H(2; 1; 3) \] Vậy phương trình mặt phẳng là \(x + y + 2z - 9 = 0\) và tọa độ hình chiếu vuông góc của \(A\) trên đường thẳng \(BC\) là \(H(2; 1; 3)\).