giải nhanh chi tiết ạ mik cảm ơn

Câu 59. Để tìm giá trị lớn nhất của hàm số \( y = \frac{2}{x^2 - 5x + 9} \), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của mẫu số \( x^2 - 5x + 9 \): Ta viết lại biểu thức \( x^2 - 5x + 9 \) dưới dạng một bình phương hoàn chỉnh: \[ x^2 - 5x + 9 = \left( x - \frac{5}{2} \right)^2 + \frac{11}{4} \] Biểu thức \( \left( x - \frac{5}{2} \right)^2 \) luôn không âm, do đó giá trị nhỏ nhất của nó là 0, xảy ra khi \( x = \frac{5}{2} \). Vì vậy, giá trị nhỏ nhất của \( x^2 - 5x + 9 \) là: \[ \left( x - \frac{5}{2} \right)^2 + \frac{11}{4} \geq \frac{11}{4} \] 2. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số \( y \): Khi mẫu số \( x^2 - 5x + 9 \) đạt giá trị nhỏ nhất là \( \frac{11}{4} \), thì giá trị của hàm số \( y \) sẽ lớn nhất: \[ y = \frac{2}{x^2 - 5x + 9} \leq \frac{2}{\frac{11}{4}} = \frac{2 \times 4}{11} = \frac{8}{11} \] Do đó, giá trị lớn nhất của hàm số \( y \) là \( \frac{8}{11} \), đạt được khi \( x = \frac{5}{2} \). Vậy đáp án đúng là: D. \( \frac{8}{11} \) Đáp số: \( \frac{8}{11} \) Câu 62. Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số $y = x^2 + 4|x| + 3$ trên đoạn $[-2; 5]$. Trước tiên, ta xét hàm số $y = x^2 + 4|x| + 3$ trên đoạn $[-2; 5]$. - Trên đoạn $[-2; 0]$, ta có $|x| = -x$, vậy hàm số trở thành: \[ y = x^2 + 4(-x) + 3 = x^2 - 4x + 3 \] - Trên đoạn $[0; 5]$, ta có $|x| = x$, vậy hàm số trở thành: \[ y = x^2 + 4x + 3 \] Ta sẽ tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số trên mỗi đoạn này. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của $y = x^2 - 4x + 3$ trên đoạn $[-2; 0]$ - Tính đạo hàm: $y' = 2x - 4$ - Đặt $y' = 0$: $2x - 4 = 0 \Rightarrow x = 2$ (không thuộc đoạn $[-2; 0]$) Do đó, ta chỉ cần kiểm tra giá trị của hàm số tại các điểm biên của đoạn $[-2; 0]$: - Tại $x = -2$: $y = (-2)^2 - 4(-2) + 3 = 4 + 8 + 3 = 15$ - Tại $x = 0$: $y = 0^2 - 4(0) + 3 = 3$ Vậy trên đoạn $[-2; 0]$, giá trị nhỏ nhất là 3 và giá trị lớn nhất là 15. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của $y = x^2 + 4x + 3$ trên đoạn $[0; 5]$ - Tính đạo hàm: $y' = 2x + 4$ - Đặt $y' = 0$: $2x + 4 = 0 \Rightarrow x = -2$ (không thuộc đoạn $[0; 5]$) Do đó, ta chỉ cần kiểm tra giá trị của hàm số tại các điểm biên của đoạn $[0; 5]$: - Tại $x = 0$: $y = 0^2 + 4(0) + 3 = 3$ - Tại $x = 5$: $y = 5^2 + 4(5) + 3 = 25 + 20 + 3 = 48$ Vậy trên đoạn $[0; 5]$, giá trị nhỏ nhất là 3 và giá trị lớn nhất là 48. Kết luận: - Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = x^2 + 4|x| + 3$ trên đoạn $[-2; 5]$ là 3. - Giá trị lớn nhất của hàm số $y = x^2 + 4|x| + 3$ trên đoạn $[-2; 5]$ là 48. Bài 2: Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số $y = |x^2 - 5x + 4|$ trên đoạn $[-2; 6)$. Trước tiên, ta xét hàm số $y = |x^2 - 5x + 4|$ trên đoạn $[-2; 6)$. - Ta có $x^2 - 5x + 4 = (x - 1)(x - 4)$ Do đó, ta chia đoạn $[-2; 6)$ thành các đoạn nhỏ hơn dựa vào các điểm mà $x^2 - 5x + 4$ đổi dấu: - Trên đoạn $[-2; 1]$, ta có $x^2 - 5x + 4 \geq 0$, vậy $y = x^2 - 5x + 4$ - Trên đoạn $(1; 4]$, ta có $x^2 - 5x + 4 < 0$, vậy $y = -(x^2 - 5x + 4) = -x^2 + 5x - 4$ - Trên đoạn $(4; 6)$, ta có $x^2 - 5x + 4 > 0$, vậy $y = x^2 - 5x + 4$ Ta sẽ tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số trên mỗi đoạn này. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của $y = x^2 - 5x + 4$ trên đoạn $[-2; 1]$ - Tính đạo hàm: $y' = 2x - 5$ - Đặt $y' = 0$: $2x - 5 = 0 \Rightarrow x = \frac{5}{2}$ (không thuộc đoạn $[-2; 1]$) Do đó, ta chỉ cần kiểm tra giá trị của hàm số tại các điểm biên của đoạn $[-2; 1]$: - Tại $x = -2$: $y = (-2)^2 - 5(-2) + 4 = 4 + 10 + 4 = 18$ - Tại $x = 1$: $y = 1^2 - 5(1) + 4 = 1 - 5 + 4 = 0$ Vậy trên đoạn $[-2; 1]$, giá trị nhỏ nhất là 0 và giá trị lớn nhất là 18. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của $y = -x^2 + 5x - 4$ trên đoạn $(1; 4]$ - Tính đạo hàm: $y' = -2x + 5$ - Đặt $y' = 0$: $-2x + 5 = 0 \Rightarrow x = \frac{5}{2}$ (thuộc đoạn $(1; 4]$) Kiểm tra giá trị của hàm số tại các điểm biên và điểm cực trị: - Tại $x = 1$: $y = -(1)^2 + 5(1) - 4 = -1 + 5 - 4 = 0$ - Tại $x = \frac{5}{2}$: $y = -\left(\frac{5}{2}\right)^2 + 5\left(\frac{5}{2}\right) - 4 = -\frac{25}{4} + \frac{25}{2} - 4 = \frac{9}{4}$ - Tại $x = 4$: $y = -(4)^2 + 5(4) - 4 = -16 + 20 - 4 = 0$ Vậy trên đoạn $(1; 4]$, giá trị nhỏ nhất là 0 và giá trị lớn nhất là $\frac{9}{4}$. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của $y = x^2 - 5x + 4$ trên đoạn $(4; 6)$ - Tính đạo hàm: $y' = 2x - 5$ - Đặt $y' = 0$: $2x - 5 = 0 \Rightarrow x = \frac{5}{2}$ (không thuộc đoạn $(4; 6)$) Do đó, ta chỉ cần kiểm tra giá trị của hàm số tại các điểm biên của đoạn $(4; 6)$: - Tại $x = 4$: $y = 4^2 - 5(4) + 4 = 16 - 20 + 4 = 0$ - Tại $x = 6$: $y = 6^2 - 5(6) + 4 = 36 - 30 + 4 = 10$ Vậy trên đoạn $(4; 6)$, giá trị nhỏ nhất là 0 và giá trị lớn nhất là 10. Kết luận: - Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = |x^2 - 5x + 4|$ trên đoạn $[-2; 6)$ là 0. - Giá trị lớn nhất của hàm số $y = |x^2 - 5x + 4|$ trên đoạn $[-2; 6)$ là 18. Câu 63. Để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=\left\{\begin{array}{ll}x^2-2x-8&khi~x\leq2\\2x-12&khi~x>2\end{array}\right.$ trong khoảng $x \in [-1; 4]$, ta thực hiện các bước sau: 1. Xét hàm số $y = x^2 - 2x - 8$ trên khoảng $[-1; 2]$: - Ta có $y' = 2x - 2$. Đặt $y' = 0$ ta tìm được $x = 1$. - Kiểm tra các giá trị tại các điểm biên và điểm cực trị: - Khi $x = -1$: $y = (-1)^2 - 2(-1) - 8 = 1 + 2 - 8 = -5$. - Khi $x = 1$: $y = 1^2 - 2(1) - 8 = 1 - 2 - 8 = -9$. - Khi $x = 2$: $y = 2^2 - 2(2) - 8 = 4 - 4 - 8 = -8$. 2. Xét hàm số $y = 2x - 12$ trên khoảng $(2; 4]$: - Hàm số này là hàm tuyến tính tăng dần, do đó giá trị nhỏ nhất sẽ ở đầu khoảng $x = 2$ và giá trị lớn nhất ở cuối khoảng $x = 4$. - Khi $x = 2$: $y = 2(2) - 12 = 4 - 12 = -8$. - Khi $x = 4$: $y = 2(4) - 12 = 8 - 12 = -4$. Từ các kết quả trên, ta thấy: - Giá trị lớn nhất của hàm số trong khoảng $[-1; 4]$ là $-4$ (khi $x = 4$). - Giá trị nhỏ nhất của hàm số trong khoảng $[-1; 4]$ là $-9$ (khi $x = 1$). Vậy $M = -4$ và $m = -9$. Do đó, $M + m = -4 + (-9) = -13$. Đáp án đúng là: B. -13.