<p>hộ voi sosssssss</p>

Câu 1. Để xác định các tập hợp \( A \cap B \) và \( A \setminus B \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định \( A \cap B \): - Tập \( A = [3;8] \) bao gồm các số từ 3 đến 8 (bao gồm cả 3 và 8). - Tập \( B = (-\infty;5] \) bao gồm các số bé hơn hoặc bằng 5. - Giao của hai tập hợp này (\( A \cap B \)) sẽ là các số thuộc cả hai tập hợp. - Các số từ 3 đến 5 (bao gồm cả 3 và 5) thuộc cả hai tập hợp. Vậy \( A \cap B = [3;5] \). 2. Xác định \( A \setminus B \): - Tập \( A \setminus B \) bao gồm các phần tử của tập \( A \) mà không thuộc tập \( B \). - Các số từ 5 đến 8 (không bao gồm 5) thuộc tập \( A \) nhưng không thuộc tập \( B \). Vậy \( A \setminus B = (5;8] \). Kết luận: - \( A \cap B = [3;5] \) - \( A \setminus B = (5;8] \) Đáp số: - \( A \cap B = [3;5] \) - \( A \setminus B = (5;8] \) Câu 2. Trước tiên, ta tính góc C: \[ \widehat{C} = 180^\circ - \widehat{A} - \widehat{B} = 180^\circ - 60^\circ - 45^\circ = 75^\circ \] Tiếp theo, ta sử dụng định lý sin để tính cạnh a và b: \[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} \] \[ \frac{a}{\sin 60^\circ} = \frac{b}{\sin 45^\circ} = \frac{10}{\sin 75^\circ} \] Ta biết rằng: \[ \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \sin 75^\circ = \sin(45^\circ + 30^\circ) = \sin 45^\circ \cos 30^\circ + \cos 45^\circ \sin 30^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \] Do đó: \[ \frac{a}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{10}{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}} \] \[ a = 10 \cdot \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}} = 10 \cdot \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} = 10 \cdot \frac{2\sqrt{3}(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{(\sqrt{6} + \sqrt{2})(\sqrt{6} - \sqrt{2})} = 10 \cdot \frac{2\sqrt{3}(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{6 - 2} = 10 \cdot \frac{2\sqrt{3}(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4} = 5\sqrt{3}(\sqrt{6} - \sqrt{2}) \] \[ a = 5\sqrt{18} - 5\sqrt{6} = 15\sqrt{2} - 5\sqrt{6} \] Tương tự: \[ \frac{b}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{10}{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}} \] \[ b = 10 \cdot \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}} = 10 \cdot \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} = 10 \cdot \frac{2\sqrt{2}(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{(\sqrt{6} + \sqrt{2})(\sqrt{6} - \sqrt{2})} = 10 \cdot \frac{2\sqrt{2}(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{6 - 2} = 10 \cdot \frac{2\sqrt{2}(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4} = 5\sqrt{2}(\sqrt{6} - \sqrt{2}) \] \[ b = 5\sqrt{12} - 5\sqrt{4} = 10\sqrt{3} - 10 \] Bán kính đường tròn ngoại tiếp R: \[ R = \frac{c}{2 \sin C} = \frac{10}{2 \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}} = \frac{10 \cdot 4}{2 (\sqrt{6} + \sqrt{2})} = \frac{20}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} = \frac{20(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{(\sqrt{6} + \sqrt{2})(\sqrt{6} - \sqrt{2})} = \frac{20(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{6 - 2} = \frac{20(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4} = 5(\sqrt{6} - \sqrt{2}) \] Diện tích tam giác ABC: \[ S = \frac{1}{2}ab \sin C = \frac{1}{2}(15\sqrt{2} - 5\sqrt{6})(10\sqrt{3} - 10) \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \] Sau khi thực hiện các phép nhân và chia, ta có: \[ S \approx 21.65 \] Vậy, bán kính đường tròn ngoại tiếp R và diện tích tam giác ABC lần lượt là: \[ R \approx 5(\sqrt{6} - \sqrt{2}), \quad S \approx 21.65 \] Câu 3. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm tọa độ đỉnh C của tam giác ABC Trọng tâm G của tam giác ABC có tọa độ là: \[ G\left(\frac{x_A + x_B + x_C}{3}, \frac{y_A + y_B + y_C}{3}\right) \] Biết rằng \( A(-1, 1) \), \( B(1, 3) \), và \( G(-2, \frac{2}{3}) \). Ta có: \[ -2 = \frac{-1 + 1 + x_C}{3} \] \[ \frac{2}{3} = \frac{1 + 3 + y_C}{3} \] Giải hai phương trình này: \[ -2 = \frac{x_C}{3} \Rightarrow x_C = -6 \] \[ \frac{2}{3} = \frac{4 + y_C}{3} \Rightarrow 2 = 4 + y_C \Rightarrow y_C = -2 \] Vậy tọa độ đỉnh C là: \[ C(-6, -2) \] Bước 2: Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng ON Đường thẳng ON đi qua điểm O(0, 0) và N(1, 1) có phương trình: \[ y = x \] Vậy tọa độ điểm M có dạng \( M(a, a) \). Bước 3: Xác định điều kiện để tam giác MBC vuông tại M Để tam giác MBC vuông tại M, vectơ MB và vectơ MC phải vuông góc với nhau. Ta tính vectơ MB và vectơ MC: \[ \overrightarrow{MB} = (1 - a, 3 - a) \] \[ \overrightarrow{MC} = (-6 - a, -2 - a) \] Hai vectơ vuông góc khi tích vô hướng của chúng bằng 0: \[ (1 - a)(-6 - a) + (3 - a)(-2 - a) = 0 \] Phát triển và giải phương trình: \[ (1 - a)(-6 - a) + (3 - a)(-2 - a) = 0 \] \[ -6 - a + 6a + a^2 - 6 - 3a + 2a + a^2 = 0 \] \[ 2a^2 + 2a - 12 = 0 \] \[ a^2 + a - 6 = 0 \] Giải phương trình bậc hai: \[ a = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2} = \frac{-1 \pm 5}{2} \] Vậy: \[ a = 2 \quad \text{hoặc} \quad a = -3 \] Do đó, tọa độ điểm M có thể là: \[ M(2, 2) \quad \text{hoặc} \quad M(-3, -3) \] Kết luận: Tọa độ đỉnh C của tam giác ABC là \( C(-6, -2) \). Tọa độ điểm M thuộc đường thẳng ON sao cho tam giác MBC vuông tại M là \( M(2, 2) \) hoặc \( M(-3, -3) \).